Цепь с амперметрами и вольтметром

Введём обозначения резисторов и покажем направления токов на схеме (рис. 38). Идеальный амперметр \(A_1\) «закорачивает» точки \(A\) и \(B\), поэтому сопротивление всей цепи (между точками \(C\) и \(D\)) равно

\[R_{CD} = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2} + \dfrac{R_3R_4}{R_3 + R_4}.\] Тогда сила тока, текущего через амперметр \(A_1\), равна \[I_0 = \dfrac{U(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}{R_1R_2R_3 + R_2R_3R_4 + R_3R_4R_1 + R_4R_1R_2}.\qquad (1)\] Значение выражения \(\sum\Pi_R = R_1R_2R_3 + R_2R_3R_4 + R_3R_4R_1 + R_4R_1R_2\) не зависит от порядка резисторов в цепи и всегда равно 50 Ом\(^3\).

Теперь определим силу тока \(I_0\), используя показания амперметра \(A_2\). Из приведённой схемы следует \[\left.\begin{aligned} I_1R_1 &= I_2R_2,\\ (I_1 - i)R_3 &= (I_2 + i)R_4, \end{aligned}\right\}\Rightarrow\] \[\Rightarrow I_1 = i\dfrac{R_2(R_3 + R_4)}{R_2R_3 - R_1R_4},\] \[I_2 = i\dfrac{R_1(R_3 + R_4)}{R_2R_3 - R_1R_4},\] тогда \[I_0 = I_1 + I_2 = i\dfrac{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}{R_2R_3 - R_1R_4}.\qquad (2)\] Приравнивая (1) и (2), получаем \[R_2R_3 - R_1R_4 = \dfrac{i\sum\Pi_R}{U} = 10\text{ Ом}^2.\qquad (3)\] Последнее условие будет выполнено, если:

1) \(R_2 = 3\) Ом, \(R_3 = 4\) Ом, \(R_1 = 1\) Ом, \(R_4 = 2\) Ом. Тогда сопротивление цепи \(R_{CD} = \dfrac{25}{12}\) Ом и показания амперметра \(A_1\): \(I_{01} = 4{,}8\) А;

2) \(R_2 = 4\) Ом, \(R_3 = 3\) Ом, \(R_1 = 1\) Ом, \(R_4 = 2\) Ом. Тогда сопротивление цепи \(R_{CD} = 2\) Ом и показание амперметра \(A_1\): \(I_{02} = 5\) А.

Другие перестановки сопротивлений, удовлетворяющие условию (3), приводят к тем же результатам.

Итак, в зависимости от порядка включения резисторов в цепь показания амперметра \(A_1\): \[I_{01} = 4{,}8\text{ А или }I_{02} = 5\text{ А}.\]