Ахиллес и черепахи (теоретический тур)

Запишите время, за которое мимо Ахиллеса проходит одна черепаха, в трёх случаях: колонна проходит мимо неподвижного Ахиллеса, Ахиллес бежит в её сторону, Ахиллес едет навстречу. Расстояние между черепахами одно и то же во всех трёх случаях.

Пусть расстояние между черепахами \(l\), скорость черепах \(v\), скорость Ахиллеса бегом \(u_1\), на велосипеде \(u_2\). При движении колонны мимо неподвижного Ахиллеса \(l/v = t_1 = 1/n_1\) мин; при беге \(l/(u_1 - v) = t_2 = 1/n_2\) мин; при езде на велосипеде \(l/(u_2 + v) = t_3 = 1/n_3\) мин. Откуда \(k = u_2/u_1 = (n_3 - n_1)/(n_2 + n_1) = 2\), а \(L = S\,n_1/(n_1 + n_2) = 10\) м.

Если отсчитывать черепах иначе (от первой встретившейся до последней, проползшей мимо спустя минуту, то есть между первой и пятой проходят четыре черепахи), уравнения принимают вид \(l/v = 1/(n_1 - 1)\), \(l/(u_1 - v) = 1/(n_2 - 1)\), \(l/(u_2 + v) = 1/(n_3 - 1)\) мин. Тогда \(k \approx 1{,}92\) и \(L \approx 8{,}33\) м. В общем случае \(\frac{25}{13} \le k \le 2\) и \(\frac{25}{3} \le L \le 10\) м.