Стакан, наполняемый из распылителя

Закон Архимеда связывает погружение стакана с массой налитой в него воды. Учтите, что при погружении стакана уровень воды в сосуде тоже поднимается.

Закон Архимеда для стакана с грузом и налитой в него водой массы \(m_0\) даёт связь уровня воды в сосуде \(h_0\) и массы \(m_0\): \[(m+m_0)g = \frac{\pi d^2}{4}\,h_0\rho_\text{в}g \quad\Rightarrow\quad h_0 = \frac{4(m+m_0)}{\pi\rho_\text{в}d^2}.\] Поэтому при добавлении воды массой \(\Delta m\) стакан погружается на \[\Delta h = \frac{4\Delta m}{\pi\rho_\text{в}d^2}.\] Величина \(\Delta h\) складывается из поднятия уровня воды в сосуде \(\Delta\bar h\) и приближения стакана ко дну \(\Delta s\). Учитывая перераспределение объёма вытесненной воды, \[\Delta h = \Delta s + \Delta\bar h, \qquad \Delta s\,\frac{\pi d^2}{4} = \Delta\bar h\,\frac{\pi}{4}\,(D^2-d^2),\] откуда \(\Delta s = \dfrac{D^2-d^2}{D^2}\,\Delta h = \dfrac{D^2-d^2}{D^2}\cdot \dfrac{4\Delta m}{\pi\rho_\text{в}d^2}\). Скорость стакана \[v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{D^2-d^2}{D^2}\cdot \frac{4\Delta m}{\pi\rho_\text{в}d^2\,\Delta t} \approx 2{,}3\text{ мм/с}.\] Стакан утонет, когда при наполнении его массой \(\Delta m_1\) глубина погружения станет равна высоте стакана \(H\): \[H = \frac{4(m+\Delta m_1)}{\pi\rho_\text{в}d^2} \quad\Rightarrow\quad \Delta m_1 = \frac{\pi d^2}{4}H\rho_\text{в} - m.\] Время утопления (за \(\tau = 1\) с добавляется \(\Delta m\)): \[t = \frac{\Delta m_1}{\Delta m}\,\tau = \frac{\pi d^2 H\rho_\text{в}-4m}{4\,\Delta m}\,\tau \approx 13\text{ с}.\]