Конденсатор, ключ и максимум мощности

Пусть напряжение на конденсаторе равно \(u\). Мощность, запасаемая в конденсаторе, равна \(P=ui_C\). Выразите ток через конденсатор по правилам Кирхгофа через \(u\) и найдите максимум \(P(u)\).

Напряжения на конденсаторе и на резисторе равны. Пусть в некоторый момент напряжение на конденсаторе равно \(u\), ток через конденсатор \(i_C=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}\). Тогда скорость изменения энергии конденсатора \[P=u\,i_C.\] По второму правилу Кирхгофа для контура с источником и резистором \(r\): \(ir+u=\mathcal{E}\), откуда \(i=\dfrac{\mathcal{E}-u}{r}\). Для контура с резистором \(R\), учитывая \(i_R=i-i_C\), получаем \(u=(i-i_C)R\). Тогда \[i_C=\frac{\mathcal{E}R-u(R+r)}{Rr}.\] Величина \(P=u i_C\) — квадратичная функция \(u\): \[P=u\frac{\mathcal{E}}{r}-u^2\frac{R+r}{Rr}.\] Максимум достигается при напряжении \[u_m=\frac{R\mathcal{E}}{2(R+r)}.\] Это же напряжение будет на конденсаторе в момент размыкания ключа. Теплота, выделившаяся после размыкания ключа, равна энергии конденсатора: \[Q=\frac{Cu_m^2}{2}=\frac{C\mathcal{E}^2}{8}\left(\frac{R}{R+r}\right)^2.\]