Задачи › Сообщающиеся сосуды, гидравлический пресс

Три сосуда с кранами

  1. Три сосуда с кранами

    Курчатов 2020/21, 8 кл.
    5/10

    Три цилиндрических сосуда соединены трубками так, что первый сосуд соединён со вторым, а второй с третьим, на трубках установлены краны, позволяющие перекрывать трубки. В начальный момент времени краны открыты, а уровень жидкости таков, что места прикреплений трубок к сосудам погружены под воду. Сначала перекрыли кран между сосудом 1 и сосудом 2, а затем налили некоторый объём воды в сосуд 2, после чего уровень воды в сосуде 2 поднялся на 1 см. Затем был перекрыт кран между сосудом 2 и сосудом 3, а после этого открыт кран между сосудом 1 и сосудом 2. В сосуд 2 снова налили то же количество воды, что и в первый раз, и уровень воды в сосуде 2 поднялся на 2 см по сравнению с уровнем непосредственно перед вторым наливанием воды. Далее был снова открыт кран между сосудом 2 и сосудом 3, и оказалось, что уровень воды в сосуде 2 поднялся на \(1{,}5\) см по сравнению с уровнем до самого первого наливания воды. Найдите отношение диаметра сосуда 3 к диаметру сосуда 1.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Записывайте объём добавленной воды через площадь сечения сосуда и изменение уровня. Для каждого состояния уровней составьте уравнение объёма жидкости.

    Ответ

    \(\dfrac{S_3}{S_1} = \dfrac{5}{2}\), откуда \(\dfrac{d_3}{d_1} = \sqrt{\dfrac{5}{2}} \approx 1{,}58\).

    Решение

    Обозначим \(h_1 = 1\) см, \(h_2 = 2\) см, \(h_3 = 1{,}5\) см. После первого наливания воды \[S_2 h_1 + S_3 h_1 = V.\] Если перекрыть кран между сосудами 2 и 3, а затем открыть кран между сосудами 1 и 2, уровень в сосудах 1 и 2 установится на новом значении \(h\): \[h\,S_1 + h\,S_2 = h_1 S_2, \qquad h = \dfrac{S_2 h_1}{S_1 + S_2}.\] Если после этого снова налить воду в сосуд 2, то получим \[h_2 S_1 + h_2 S_2 = V.\] Сравнивая с первым уравнением, \(S_2 h_1 + S_3 h_1 = h_2 S_1 + h_2 S_2\); деля на \(S_2\): \[1 + \dfrac{S_3}{S_2} = 2\,\dfrac{S_1}{S_2} + 2.\] После открытия всех кранов \[h_3 (S_1 + S_2 + S_3) = h_2 S_1 + (h_1 + h_2) S_2 + h_1 S_3.\] Отсюда \(0{,}5\dfrac{S_1}{S_2} - 0{,}5\dfrac{S_3}{S_2} + 1{,}5 = 0\), то есть \(\dfrac{S_1}{S_2} - \dfrac{S_3}{S_2} + 3 = 0\). Решая систему двух уравнений, получаем \(\dfrac{S_1}{S_2} = 2\), \(\dfrac{S_3}{S_2} = 5\), откуда \[\dfrac{S_3}{S_1} = \dfrac{5}{2}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх