Ледяной шар с полостью

Запишите равенство выталкивающей силы и силы тяжести для каждого из двух случаев отдельно, учитывая, что объём полости в обоих случаях один и тот же.

Для первого случая приравняем выталкивающую силу к силе тяжести: \(0{,}5\,\rho_{\text{в}} V g = \rho_{\text{л}} V_0 g + \rho_{\text{в}} V_1 g\), где \(V_0\) — объём льда, а объём полости \(V_p = V_1 + V_2\). Для второго случая \(\dfrac{2}{3}\rho_{\text{в}} V g = \rho_{\text{л}} V_0 g + \rho_{\text{в}} V_2 g\). Учитывая, что \(V_2 = V - V_0 - V_1\), и вводя \(a = V_0/V\), \(b = V_1/V\), получаем систему \[\begin{cases} 0{,}5\,\rho_{\text{в}} g = \rho_{\text{л}} g\,a + \rho_{\text{в}} g\,b, \\ -\dfrac{1}{3}\rho_{\text{в}} g = (\rho_{\text{л}} - \rho_{\text{в}}) g\,a - \rho_{\text{в}} g\,b. \end{cases}\] Сложив уравнения, найдём \(\dfrac{1}{6}\rho_{\text{в}} g = (2\rho_{\text{л}} - \rho_{\text{в}}) g\,a\), то есть \[a = \dfrac{1}{6}\,\dfrac{\rho_{\text{в}}}{2\rho_{\text{л}} - \rho_{\text{в}}}.\] Искомая доля \[1 - a = \dfrac{12\rho_{\text{л}} - 7\rho_{\text{в}}}{12\rho_{\text{л}} - 6\rho_{\text{в}}} = 0{,}8.\]