Тоннель между пунктами A и B

Пусть угол наклона прямых участков тоннеля к горизонту равен \(\alpha\). Тогда вагонетка движется по этим участкам с постоянным ускорением \(a = g\sin\alpha\), сначала ускоряясь, а затем замедляясь. Первый наклонный участок будет пройден вагонеткой за время \(t\), определяемое из условия: \(\dfrac{at^2}{2} = \dfrac{l}{2\cos\alpha}\). Отсюда \(t = \sqrt{\dfrac{l}{a\cos\alpha}}\). Второй наклонный участок будет пройден вагонеткой, очевидно, за такое же время \(t\) (тоннель симметричный). Значит, полное время поездки от \(A\) до \(B\) равно \[T = 2t = 2\sqrt{\dfrac{l}{a\cos\alpha}} = 2\sqrt{\dfrac{l}{g\sin\alpha\cos\alpha}} = 2\sqrt{\dfrac{2l}{g\sin 2\alpha}}.\] Это время будет минимальным при максимальном значении \(\sin 2\alpha\). Так как значение функции синус не может превышать 1, а это значение достигается при величине её аргумента \(\pi/2\), то в нашем случае \(\alpha = \pi/4\). Учитывая это, получаем: \[\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2h}{l} = 1,\quad\text{откуда}\quad h = \dfrac{l}{2}.\] Минимальное время поездки, достигаемое при данном значении максимальной глубины тоннеля, равно \(T_{\min} = 2\sqrt{2l/g}\).