Рычаг и U-образная трубка

При любом положении рычага действующий на него момент силы тяжести \(mg\) уравновешивается моментом силы реакции штока \(N\), которая, в силу отсутствия трения, всегда направлена перпендикулярно рычагу (см. рис. 1.235). Вертикальная проекция силы реакции равна силе давления, создаваемого столбом налитой в U-образную трубку жидкости. Правило рычага для исходного горизонтального положения имеет вид: \[mg\dfrac{L}{2} = \rho ghS\dfrac{L}{4},\] где \(h\) — расстояние от начального уровня жидкости в открытом колене трубки до уровня нижней поверхности поршня (на рисунке пунктиром показано положение поршня в исходном положении).

После доливания в трубку жидкости поршень вместе со штоком сместится вверх, а рычаг повернётся. При этом плечо силы тяжести уменьшится до \((L\cos\alpha)/2\), а плечо силы реакции штока увеличится до \(L/(4\cos\alpha)\), поскольку шток сохраняет вертикальное положение. При этом вертикальная составляющая силы реакции \(N\cos\alpha\) станет равной \(\rho gh_1S\), где \(h_1\) — расстояние от нового уровня жидкости в открытом колене трубки до нового уровня нижней поверхности поршня. Значит, правило рычага для этого случая имеет вид: \[mg\dfrac{L\cos\alpha}{2} = \dfrac{\rho gh_1S}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{L}{4\cos\alpha}.\] Так как шток жёсткий, то смещение поршня при повороте рычага равно расстоянию, на которое поднялся верхний конец штока: \(\Delta x = (L/4)\operatorname{tg}\alpha\). При этом на такое же расстояние опустился уровень жидкости в открытом колене трубки. Долитая же в трубку жидкость объёмом \(V\) обеспечила дополнительный подъём разности уровней до высоты \(h_1\), необходимой для установления равновесия. Следовательно (см. рис. 1.235), \[h_1 = \dfrac{V}{S} + h - 2\Delta x = \dfrac{V}{S} + h - 2\cdot\dfrac{L}{4}\operatorname{tg}\alpha.\] Решая полученные уравнения, находим ответ: \(m = \dfrac{\rho(LS\operatorname{tg}\alpha - 2V)}{4(1 - \cos^3\alpha)}\).