Грузы m и 3m на блоках

Нити проходят через подвижные блоки: выразите связь ускорений грузов через перемещения концов нитей. Для невесомого блока сумма сил на нём равна нулю.

Силы, действующие на тела, показаны на рисунке: две силы тяжести \(mg\) и \(3mg\) и силы натяжения нитей \(T_1\) и \(T_2\). Второй закон Ньютона для тел даёт \[ma_1 = T_1 - mg, \qquad 3ma_2 = 3mg - T_2,\] где \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения тела массой \(m\) и тела массой \(3m\) (здесь проекции на ось, направленную вверх для меньшего тела и вниз для большего). Поскольку блоки невесомы, сумма сил, действующих на каждый из них, равна нулю. Поэтому сила натяжения нитей, прикреплённых к осям двух маленьких подвижных блоков, равна \(2T_1\), а сила натяжения нити, прикреплённой к большому телу, \(T_2 = 4T_1\).

Установим связь ускорений. Если маленькое тело опустится вниз на величину \(\Delta x\), то нить справа от самого левого блока укоротится на \(\Delta x\). Это приведёт к подъёму двух маленьких подвижных блоков на \(\Delta x/4\) каждого. Следовательно, большой груз поднимется на величину \(\Delta x/4\). Поэтому скорость маленького тела в любой момент времени вчетверо больше скорости большого, и ускорение \(a_1 = 4a_2\).

В результате система уравнений становится такой: \[4ma_2 = T_1 - mg, \qquad 3ma_2 = 3mg - 4T_1.\] Решая её, найдём \[a_2 = -\dfrac{g}{19}.\] Это значит, что больший груз будет двигаться с ускорением \(g/19\), направленным вверх, а меньший груз — с ускорением \(4g/19\), направленным вниз.