Цепочка кубиков

Сколько промежутков \(b\) успеет пройти первый кубик за время \(t\)? Сколько кубиков к этому моменту уже вовлечено в движение и какова их суммарная длина?

Пусть с начала движения первого кубика прошло время \(t\). Поскольку время столкновений кубиков мало, за это время в движение будет вовлечено столько кубиков, сколько расстояний между кубиками пройдёт первый кубик. Их число \(N\) определяется условием \(N \le \dfrac{vt}{b} < N+1\), то есть \(N = \left[\dfrac{vt}{b}\right]\), где \([\dots]\) — целая часть числа. Длина цепочки вовлечённых кубиков равна \[L = Na = a\left[\dfrac{vt}{b}\right].\] Поскольку время \(t\) очень большое, длина цепочки приближённо равна \(L = \dfrac{avt}{b}\). Поэтому средняя скорость возрастания длины цепочки \[v_{ср} = \dfrac{L}{t} = \dfrac{av}{b}\] не зависит от времени. Эта независимость приближённая, поскольку длина цепочки меняется дискретно, а время течёт непрерывно. Длина цепочки лежит в интервале \[\dfrac{avt}{b} < L < \dfrac{avt}{b} + a,\] что отвечает интервалу для средней скорости \[\dfrac{av}{b} < v_{ср} < \dfrac{av}{b} + \dfrac{a}{t} = a\left(\dfrac{v}{b}+\dfrac{1}{t}\right).\]