Скорость по графику a(S)

Для малого участка пути движение можно считать равноускоренным: как связаны \(v_к^2 - v_н^2\) и \(a\,\Delta S\) на таком участке? Что даст их сумма по всему пути?

Разобьём весь путь \(S_0/2\) на малые участки, настолько малые, что движение тела на каждом из них можно считать равноускоренным. Для равноускоренного движения в одном направлении справедливо соотношение \[\dfrac{v_к^2}{2} - \dfrac{v_н^2}{2} = a\,\Delta S,\] где \(v_к\) и \(v_н\) — скорость тела в конце и в начале рассматриваемого участка пути, \(a\) — проекция ускорения на ось движения (\(a > 0\)), \(\Delta S\) — пройденный путь. Такие же соотношения справедливы для любого участка, причём конечная скорость одного участка является начальной для следующего. Сложив эти формулы для всех участков, получим, что квадраты скоростей сокращаются: \[\dfrac{v_1^2}{2} - \dfrac{v_0^2}{2} = a_1\Delta S_1 + a_2\Delta S_2 + a_3\Delta S_3 + \dots,\] где \(v_1\) — искомая скорость тела при прохождении им пути \(S_0/2\). Сумма в правой части равна площади под графиком зависимости ускорения от пройденного пути в пределах от нуля до \(S_0/2\). Эта фигура — трапеция, её площадь равна \[a_1\Delta S_1 + a_2\Delta S_2 + \dots = \dfrac{a_0 + 2a_0}{2}\cdot\dfrac{S_0}{2} = \dfrac{3}{4}a_0S_0.\] Отсюда находим конечную скорость тела \[v_1^2 = v_0^2 + \dfrac{3}{2}a_0S_0.\]