Жидкое равновесие

Примените закон сохранения энергии к начальному и конечному положениям системы. Учтите работу силы тяжести груза, потенциальную энергию столбов воды и упругую энергию пружины.

После установки груза \(m\) система выйдет из положения равновесия, поскольку сила давления жидкости в левом колене станет больше.

Пусть в новом установившемся положении равновесия жидкость в правом колене поднялась на высоту \(h\) (рис.), а пружина сжалась на величину \(\Delta x\), тогда из правила сил для равновесия \[k\Delta x = mg \Rightarrow \Delta x = \frac{mg}{k}, \qquad mg = 2\rho g h S \Rightarrow h = \frac{m}{2\rho S},\] где \(S\) — площадь поперечного сечения трубки.

В процессе установления равновесия груз опустился относительно начального положения на величину \[\Delta h = \Delta x + h.\] Начальная механическая энергия \(E_1\) системы (относительно нижней точки трубки) складывается из потенциальной энергии столбов жидкости (центр масс на середине высоты) и груза \[E_1 = 2\rho g\frac{l}{2}S\frac{l}{4} + mg\left(\frac{l}{2} + l_0\right),\] где \(l_0\) — длина пружины в недеформированном состоянии (т.е. до установки груза, в условии не задана).

Соответственно, после установления равновесия механическая энергия \(E_2\) станет равна (добавится энергия упругой деформации пружины) \[E_2 = \frac{\rho g\left(\frac{l}{2}-h\right)^2 s}{2} + \frac{\rho g\left(\frac{l}{2}+h\right)^2 s}{2} + mg\left(\frac{l}{2} + l_0 - h - \Delta x\right) + \frac{k\Delta x^2}{2}.\]

Из закона сохранения энергии после установления нового положения равновесия имеем \[Q = E_1 - E_2 = mgh + mg\Delta x - \rho g S h^2 - \frac{k\Delta x^2}{2}.\] Видим, что подобные члены, содержащие длину недеформированной пружины \(l_0\), успешно сокращаются.

Далее найдём \[Q = mgh + mg\Delta x - \rho g S h^2 - \frac{k\Delta x^2}{2} = \frac{m^2g}{4\rho S} + \frac{m^2g^2}{2k} = \frac{m^2g}{2}\left(\frac{1}{2\rho S} + \frac{g}{k}\right).\] С физической точки зрения выделение теплоты в системе происходит из-за наличия диссипативных сил: при затухании со временем колебаний жидкости (узкая трубка, вязкое трение, жидкость не идеальна) и пружины (трение о воздух, работа силы сопротивления воздуха).

Расчёт по итоговой формуле даёт \[Q = \frac{m^2g}{2}\left(\frac{1}{2\rho S} + \frac{g}{k}\right) = 5{,}12~\text{мДж}.\]