Неравномерный нагрев

Количество теплоты, запасённое в участке стержня, пропорционально его температуре и длине. Суммарная теплота от горелки пропорциональна площади под графиком в относительных координатах.

Как следует из условия, из-за неравномерного нагрева стержня в пламени газовой горелки температура его центральной части очень велика (\(500\,^{\circ}\)C), тогда как концы стержня «остались» при начальной (нулевой) температуре (вполне можно держать руками).

Пусть удельная теплоёмкость материала стержня \(c\), плотность \(\rho\), площадь поперечного сечения стержня — \(S\). Тогда количество теплоты \(\Delta Q\), запасённое в небольшом участке стержня длиной \(\Delta x\), равно \[\Delta Q = cm\,\Delta T = c\rho S\,\Delta x\,\Delta T = c\rho S\,\Delta x\,T.\] Соответственно, количество теплоты, сообщённое газовой горелкой всему стержню, найдём как сумму \[Q_1 = \sum_i \Delta Q_i = c\rho S\sum_i T_i\,\Delta x_i = c\rho S\cdot S^*,\] где \(S^* = \pi(5l_0)(5t_0)/2 = 25\pi l_0 t_0/2\) — размерная физическая величина (\(l_0 \cdot t_0 = \text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}\)), равная площади под графиком, т.е. площади полуокружности размерными радиусами \(5l_0\) и \(5t_0\). Окончательно для количества теплоты получаем \[Q_1 = \frac{25\pi c\rho S l_0 t_0}{2}.\] Через некоторое время после прекращения работы газовой горелки вследствие явления теплопроводности стержень придёт в состояние теплового равновесия, при котором искомая температура \(t\) всех его участков будет одинакова. Тогда количество теплоты, запасённой в стержне, можно записать как \[Q_2 = cm\,\Delta T = c\rho S(10l_0)\,t.\] Поскольку потерь теплоты нет, справедливо уравнение теплового баланса \(Q_1 = Q_2\), из которого получаем \[\frac{25\pi c\rho S l_0 t_0}{2} = c\rho S(10l_0)\,t.\] Установившаяся температура стержня \[t = \frac{25\pi c\rho S l_0 t_0}{2c\rho S(10l_0)} = \frac{5\pi t_0}{4} = 393\,^{\circ}\text{C}.\]