Равновесие в полях

Из равновесия всей системы (нить с грузом) \(\vec T + m\vec g + \lambda L\vec E = 0\) находятся проекции поля через натяжение \(T\) в точке крепления. Вторая связь — между натяжениями на концах нити: мысленно протяните нить вдоль самой себя на \(dl\) и приравняйте работу натяжений изменению энергии нити в поле.

Пусть \(\vec T\) — сила, действующая на нить в точке её крепления, равная по модулю силе натяжения нити в данной точке. Тогда, поскольку система расположена в равновесии: \[\vec T + m\vec g + \lambda L\vec E = 0.\] Введём систему координат \(xy\), где ось \(x\) направлена вправо, а ось \(y\) — вертикально вверх. Тогда из условия равновесия: \[E_y = \frac{mg}{\lambda L}, \qquad E_x = \frac{T}{\lambda L}.\] Свяжем силы натяжения нити \(T_0 = mg\) в точке крепления груза и \(T\) в точке крепления нити. Приведём два способа получения данной связи.

Первый способ. Воспользуемся методом виртуальных перемещений. Мысленно поместим нить в гладкую трубку, повторяющую форму нити. Это не изменит силу натяжения, потому что нить с трубкой не взаимодействует. Сдвинем нить вдоль трубки на величину \(dl\) в направлении от точки крепления груза к точке крепления нити. Тогда изменение формы нити эквивалентно перемещению участка нити длиной \(dl\) из точки крепления груза в точку крепления нити, поскольку форма остальной части нити не изменится. Поскольку сила натяжения невесомой нити направлена вдоль нити, работа сил, приложенных к концам нити, на указанном виртуальном перемещении равна: \[\delta A = T\,dl - T_0\,dl = T\,dl - mg\,dl.\] Совершаемая силами натяжения работа равна изменению потенциальной энергии нити в электростатическом поле: \[\delta A = dW_p.\] Поскольку перемещение нити эквивалентно перемещению её участка длиной \(dl\) из точки крепления груза в точку крепления нити — изменение потенциальной энергии нити в электростатическом поле равно изменению потенциальной энергии соответствующего участка нити: \[dW_p = \lambda\,dl\,(\varphi - \varphi_0) = \lambda\,dl\,\Delta\varphi,\] где \(\varphi\) и \(\varphi_0\) — потенциалы электростатического поля в точках крепления нити и груза соответственно. Для изменения потенциала \(\Delta\varphi\) имеем: \[\Delta\varphi = -E_x(x - x_0) - E_y(y - y_0).\] Поскольку \(x - x_0 = -S\), а \(y - y_0 = H\), для изменения потенциала \(\Delta\varphi\) находим: \[\Delta\varphi = E_xS - E_yH.\] Таким образом: \[T - mg = \lambda(E_xS - E_yH).\]

Второй способ. Рассмотрим бесконечно малый элемент нити длиной \(dl\). Условие его равновесия записывается следующим образом: \[\left(\vec T + d\vec T\right) - \vec T + \vec E\lambda\,dl = 0.\] Проецируя на направление касательной к нити, получим: \[dT + \lambda E_\parallel\,dl = 0.\] Пусть касательная к нити образует угол \(\varphi\) с вертикалью. Тогда для \(E_\parallel\) имеем:

\[E_\parallel = E\cos\varphi - E\sin\varphi,\] откуда: \[dT + E_y\lambda\,dl\cos\varphi - E_x\lambda\,dl\sin\varphi = 0.\] Но при этом \(dl\cos\varphi = dy\), а \(dl\sin\varphi = -dx\), откуда: \[dT + E_y\lambda\,dy + E_x\lambda\,dx = 0.\] Суммируя, получим: \[T - T_0 = T - mg = -E_y\lambda(y - y_0) - E_x\lambda(x - x_0).\] Поскольку \(y - y_0 = H\), а \(x - x_0 = -S\), получим: \[T - mg = \lambda(E_xS - E_yH).\]

Но поскольку \(T = \lambda LE_x\): \[\lambda LE_x - mg = \lambda(SE_x - HE_y) = \lambda SE_x - \lambda H\cdot\frac{mg}{\lambda L} \;\Rightarrow\; E_x = \frac{mg}{\lambda L}\,\frac{L - H}{L - S}.\] Для напряжённости электростатического поля имеем: \[E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2},\] откуда: \[E = \frac{mg}{\lambda L}\sqrt{1 + \left(\frac{L - H}{L - S}\right)^2}.\]