Деревянная коробка на воде

Запишите условие плавания пустой коробки и выразите её внешние размеры через \(h_1\). Затем учтите, что при заполнении водой добавочная сила тяжести уравновешена добавочной силой Архимеда от дополнительно погружённого объёма.

Пусть \(S\) — площадь наружного сечения коробки, \(L\) — её высота. Поскольку её объём складывается из объёма дерева и внутреннего пустого пространства, имеем \[SL = \frac{m}{\rho} + V \quad\Rightarrow\quad L = \frac{m}{\rho S} + \frac{V}{S}, \qquad (*)\] где \(\rho\) — плотность дерева. Условие плавания коробки без воды даёт \[m = \rho_0 S (L - h_1) \quad\Rightarrow\quad L = \frac{m}{S\rho_0} + h_1, \qquad (**)\] где \(\rho_0\) — плотность воды. Отсюда \[\frac{m}{S\rho_0} + h_1 = \frac{m}{\rho S} + \frac{V}{S} \quad\Rightarrow\quad S = \frac{1}{h_1}\Bigl[\frac{m(\rho_0 - \rho)}{\rho_0\rho} + V\Bigr].\]

Запишем теперь условие плавания коробки с водой. Поскольку масса коробки увеличилась на \(V\rho_0\), глубина её погружения должна увеличиться на такую величину, чтобы добавка к силе Архимеда компенсировала дополнительную силу тяжести. Поэтому если расстояние от верхнего края коробки до поверхности воды уменьшилось от величины \(h_1\) до величины \(h_2\), то увеличение силы Архимеда составит \(\rho_0 g (h_1 - h_2) S\). Отсюда \[V = (h_1 - h_2)\,S \quad\Rightarrow\quad h_2 = h_1 - \frac{V}{S} = h_1\Bigl[1 - \frac{V}{V + \frac{m(\rho_0 - \rho)}{\rho_0\rho}}\Bigr].\] Подставляя \(\rho = \frac{2}{3}\rho_0\), получим \[h_2 = h_1\Bigl(1 - \frac{2\rho_0 V}{2\rho_0 V + m}\Bigr).\]