Феррари, Мерседес и Жигули

Рассмотрите два этапа: до того как Феррари догонит Жигули и после этого момента. В каждом этапе запишите, какие пути проходят машины за время догоняния.

Пусть скорости машин равны \(v_{\text{ф}}\), \(v_{\text{м}}\) и \(v_{\text{ж}}\). Феррари догонит Жигули через время \(t = \dfrac{S}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}}\). За это время Жигули и Мерседес пройдут расстояния \[l_{\text{ж}} = \frac{v_{\text{ж}}S}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}}, \qquad l_{\text{м}} = \frac{v_{\text{м}}S}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}}.\] Поэтому расстояние от Мерседеса до Феррари и Жигулей в этот момент есть \[\frac{5S}{6} = l_{\text{м}} - l_{\text{ж}} = \frac{(v_{\text{м}} - v_{\text{ж}})S}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}},\] откуда \[\frac{v_{\text{м}} - v_{\text{ж}}}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}} = \frac{5}{6}. \qquad (*)\] Теперь рассмотрим второй этап. Феррари догонит Мерседес через время \(t_1 = \dfrac{5S/6}{v_{\text{ф}} - v_{\text{м}}}\), за которое Феррари и Жигули пройдут расстояния \[l_{\text{ф}} = \frac{v_{\text{ф}}\,5S/6}{v_{\text{ф}} - v_{\text{м}}}, \qquad l_{\text{ж}}' = \frac{v_{\text{ж}}\,5S/6}{v_{\text{ф}} - v_{\text{м}}}.\] Расстояние от Феррари и Мерседеса до Жигулей в этот момент: \[S_1 = l_{\text{ф}} - l_{\text{ж}}' = \frac{(v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}})\,5S/6}{v_{\text{ф}} - v_{\text{м}}}.\] Добавляя и вычитая в знаменателе \(v_{\text{ж}}\), делим на разность \(v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}\) и пользуемся формулой \((*)\): \[S_1 = \frac{\dfrac{5S}{6}}{1 - \dfrac{v_{\text{м}} - v_{\text{ж}}}{v_{\text{ф}} - v_{\text{ж}}}} = \frac{5S/6}{1 - 5/6} = 5S.\]