Проволочный куб

Введите взаимные индуктивности контуров на смежных и на противоположных гранях и выразите через них потоки: поток входящий в куб равен потоку, выходящему через остальные грани.

1) \(L_{63} = 3L_{62} - 3L_{41}\);  2) \(L_{83} = 5L_{41} - 2L_{62}\);  3) \(U(t) = \omega(2L_{62} - 3L_{41})I_0\sin\omega t\).

Обозначим через \(M\) взаимную индуктивность двух проволочных контуров, расположенных вдоль рёбер двух смежных граней куба, а через \(m\) — взаимную индуктивность двух проволочных контуров, расположенных вдоль рёбер двух противоположных граней куба.

Примечание. Взаимная индуктивность — это коэффициент пропорциональности между магнитным потоком в одном контуре и силой тока в другом.

Если пустить ток по четырём рёбрам одной грани куба, то магнитный поток, входящий в куб через эту грань, будет равен суммарному магнитному потоку, выходящему из куба через четыре смежные грани и одну противоположную, откуда получаем первое соотношение между индуктивностями: \[L_{41} = 4M + m. \tag{1}\] Если пустить ток по шести рёбрам двух смежных граней куба, то магнитный поток, входящий в куб через этот контур, будет равен суммарному магнитному потоку, выходящему из куба через четыре оставшиеся грани, две из которых являются смежными с каждой из двух граней, образующих контур, а каждая из двух других является смежной с одной из граней, образующих контур, и противоположной другой, откуда получаем второе соотношение между индуктивностями: \[L_{62} = 2(M + M) + 2(M + m) = 6M + 2m. \tag{2}\] Примечание. Можно получить то же самое соотношение (2) по-другому: мысленно добавим два противоположно направленных тока той же самой силой \(I\) вдоль общего ребра двух граней, образующих рассматриваемый контур, тогда его можно разбить на два контура, каждый из которых добавляет магнитный поток \(L_{41}I\) через себя и вычитает магнитный поток \(MI\) через второй контур, из чего можно записать равенство \[L_{62} = 2(L_{41} - 2M) = 6M + 2m,\] которое совпадает с соотношением (2) после подстановки выражения (1).

Решая уравнения (1) и (2) совместно, находим взаимные индуктивности: \[M = L_{41} - \dfrac{L_{62}}{2},\qquad m = 2L_{62} - 3L_{41}. \tag{3}\] Выразим каждую из искомых индуктивностей \(L_{63}\) и \(L_{83}\) обоими показанными выше способами (запасной способ — ради интереса и для самопроверки): \[\begin{align*} L_{63} &= 3(2M + m) = 6M + 3m,\\ L_{63} &= 3(L_{41} - 2M) = 6M + 3m,\\ L_{83} &= 2\cdot 3M + (2M + m) = 8M + m,\\ L_{83} &= 3L_{41} - 2M - 2(M + m) = 8M + m. \end{align*}\] После подстановки соотношений (3) получаем первые два ответа: \[\begin{align*} L_{63} &= 6M + 3m = 3L_{62} - 3L_{41},\\ L_{83} &= 8M + m = 5L_{41} - 2L_{62}. \end{align*}\] В третьем пункте задачи выразим магнитный поток через второй контур \[\Phi = mI(t) = mI_0\cos\omega t\] и найдём показания вольтметра через ЭДС индукции: \[U(t) = \mathcal{E} = -\dot\Phi = \omega mI_0\sin\omega t = \omega(2L_{62} - 3L_{41})I_0\sin\omega t.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.