Адиабатное падение тяжёлого поршня

В нижней точке запишите закон сохранения энергии (внутренняя энергия газа плюс потенциальная энергия поршня) и уравнение адиабаты, а малость \(\varphi\) используйте для упрощения.

1) \(h \approx \left(\dfrac{3\varphi}{2 + 3\varphi}\right)^{3/2} \approx 1{,}8\cdot 10^{-3}\);  2) \(p \approx \left(\dfrac{2 + 3\varphi}{3\varphi}\right)^{5/2} \approx 3{,}8\cdot 10^{4}\);  3) \(t = ph \approx \dfrac{2 + 3\varphi}{3\varphi} \approx 67{,}7\).

Пусть \(m\) — масса поршня, \(S\) — площадь поперечного сечения цилиндра, тогда закон сохранения энергии и уравнение адиабаты с постоянной \(\gamma = 5/3\) для одноатомного газа имеют вид \[\dfrac{3}{2}P_0SH_0 + mgH_0 = \dfrac{3}{2}P_{\max}SH_{\min} + mgH_{\min},\] \[P_0(SH_0)^\gamma = P_{\max}(SH_{\min})^\gamma.\] Используя введённые в условии безразмерные искомые параметры и известное значение \(\varphi = P_0S/(mg)\), преобразуем эти уравнения к виду \[\dfrac{3}{2}\varphi(ph - 1) = 1 - h, \tag{1}\] \[p = h^{-\gamma}. \tag{2}\] Подстановка выражения (2) и значения \(\gamma\) в равенство (1) даёт нелинейное уравнение \[\dfrac{3}{2}\varphi\left(h^{-2/3} - 1\right) = 1 - h,\] которое можно решить приближённо, если учесть, что \(h \ll 1\) при \(\varphi \ll 1\), то есть последним вхождением \(h\) можно пренебречь и найти первый ответ: \[h \approx \left(\dfrac{3\varphi}{2 + 3\varphi}\right)^{3/2} \approx 1{,}8\cdot 10^{-3}.\] С помощью уравнения (2) находим второй ответ: \[p \approx \left(\dfrac{2 + 3\varphi}{3\varphi}\right)^{5/2} \approx 3{,}8\cdot 10^{4}.\] Третий ответ найдём из уравнения Менделеева–Клапейрона, записав его через относительные параметры газа: \[t = ph \approx \dfrac{2 + 3\varphi}{3\varphi} \approx 67{,}7.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.