Нагревание шариками

Удобно следить не за температурой воды, а за её отличием от предельной температуры шариков: после каждого шарика это отличие умножается на один и тот же множитель.

\(n = 8\).

Из уравнения теплового баланса при помещении первого шарика \[C_1(T_1 - T_0) = C_2(T - T_1)\] найдём новую равновесную температуру: \[T_1 = \dfrac{C_1T_0 + C_2T}{C_1 + C_2}.\] Это выражение имеет вполне ожидаемую форму среднего взвешенного (мы сталкиваемся с такой формой в самых разных ситуациях, например, аналогично находится скорость тел после абсолютно неупругого удара, координата центра масс системы, средняя плотность и т. д.), однако в данной задаче для расчётов удобнее перейти от температуры воды к её отличию от предельной (добавление каждого шарика приближает температуру воды к \(T\)).

Пусть \(T_n\) — равновесная температура после помещения \(n\)-го шарика (отметим, что введённое в условии задачи обозначение \(T_0\) отлично вписывается в эту систему), \(\Delta T_n = T - T_n\) — отличие равновесной температуры от предельной, тогда уравнение теплового баланса можно переписать в виде \[C_1(\Delta T_{n-1} - \Delta T_n) = C_2(\Delta T_n - 0),\] откуда находим рекуррентное соотношение \[\Delta T_n = \dfrac{C_1}{C_1 + C_2}\cdot\Delta T_{n-1},\] то есть последовательность \(\Delta T_n\) образует геометрическую прогрессию: \[\Delta T_n = \left(\dfrac{C_1}{C_1 + C_2}\right)^n\cdot\Delta T_0.\] Искомый номер шарика — это наименьшее целочисленное значение \(n\), при котором выполняется условие \[\left(\dfrac{C_1}{C_1 + C_2}\right)^n\cdot(T - T_0) < T - T_x,\] которое равносильно неравенству \[n > \dfrac{\ln\left(\dfrac{T - T_0}{T - T_x}\right)}{\ln\left(1 + \dfrac{C_2}{C_1}\right)} = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}1} \approx 7{,}3.\] Таким образом, окончательный ответ: \(n = 8\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.