Центр масс загружаемой платформы

Взаимодействие платформы со щебнем внутреннее, поэтому координату центра масс можно искать так, будто щебень падает на землю, а платформа едет равномерно.

\(v_c(t) = v_0\cdot\dfrac{1 - \dfrac{\mu L}{4Mv_0}}{\left(1 + \dfrac{\mu t}{M}\right)^2}\); для данных числовых значений \(\mu L = 4Mv_0\), поэтому \(v_c = 0\) (центр масс покоится, \(x_c = 20\) м).

Горизонтальные составляющие всех внешних сил, действующих на систему, равны нулю. Взаимодействие между платформой и высыпающимся щебнем является внутренним для рассматриваемой системы, поэтому оно не может повлиять на координату \(x_c\) центра масс системы. Значит, зависимость \(x_c(t)\) можно искать в отсутствие этого взаимодействия, считая, что щебень вываливается на землю, а платформа едет с постоянной скоростью: \[x_c(t) = \dfrac{M\cdot(L/4 + v_0t) + \mu t\cdot 0}{M + \mu t} = \dfrac{L}{4}\cdot\dfrac{1 + 4v_0t/L}{1 + \mu t/M} = 20\text{ м}.\] Заметим, что при подстановке значений в общую формулу время \(t\) сократилось за счёт выполнения соотношения между численными данными: \(\mu L = 4Mv_0\). В этом случае платформа с щебнем будет двигаться, а центр масс — покоиться.

В общем же случае найдём искомую скорость через производную координаты: \[v_c(t) = \dot x_c(t) = v_0\cdot\dfrac{1 - \dfrac{\mu L}{4Mv_0}}{\left(1 + \dfrac{\mu t}{M}\right)^2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.