Космический луч

Закон Снелла для сферически-симметричной среды даёт инвариант: произведение показателя преломления на расстояние от центра до касательной к лучу остаётся постоянным.

\(n_0 = H/D\).

Рассмотрим преломление луча в произвольной точке \(E\) на расстоянии \(R\) от центра \(O\) туманности (см. рисунок). Пусть \(n_1\) и \(n_2\) — показатели преломления соответственно снаружи и внутри сферической границы раздела вблизи неё (в случае непрерывной зависимости показателя преломления от \(R\) значения \(n_1\) и \(n_2\) будут бесконечно близки, из-за чего луч будет отклоняться плавно, но нам этот факт даже не потребуется), тогда закон Снелла имеет вид \[n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2, \tag{1}\] где \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) — углы падения и преломления соответственно.

Пусть \(\ell_1\) и \(\ell_2\) — расстояния от центра туманности до продолжения падающего луча и до преломлённого луча соответственно, тогда из прямоугольных треугольников следуют соотношения \[\sin\alpha_1 = \dfrac{\ell_1}{R}\qquad\text{и}\qquad\sin\alpha_2 = \dfrac{\ell_2}{R},\] после подстановки которых в закон преломления (1) получаем инвариант \[n_1\ell_1 = n_2\ell_2.\] Напомним, что инвариантом называется выражение, формально зависящее от нескольких переменных, но фактически сохраняющее постоянное значение при некоторых условиях. В данном случае остаётся постоянным произведение показателя преломления в некоторой точке траектории луча на расстояние от центра туманности до касательной к траектории луча в этой точке.

Применим полученный инвариант к двум точкам — вдали от туманности (в вакууме \(n = 1\)) и на минимальном расстоянии от её центра: \[1\cdot H = n_0\cdot D,\qquad\text{откуда}\qquad n_0 = \dfrac{H}{D}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.