Нагрев электромоста

Найдите соотношения между токами по правилам Кирхгофа, затем выразите нагрев каждого резистора через его ток, сопротивление и размеры проволоки (при малом времени теплоотдачи нет, при большом — она пропорциональна площади поверхности).

\(1200\) мК, \(1200\) мК, \(833\) мК, \(496\) мК.

Обозначим через \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\), \(I_4\) и \(I_5\) силы токов, текущих через соответствующие резисторы, и будем считать положительными направления, указанные на схеме стрелочками.

Из формулы для удельного сопротивления следует, что сопротивления резисторов прямо пропорциональны их длине (номеру резистора в 1 и 2 пунктах задачи) и обратно пропорциональны площади их сечения (квадрату номера резистора в 3 и 4 пунктах задачи).

Правила Кирхгофа для 1 и 2 пунктов задачи имеют вид \[\begin{cases} I_1 = I_2 + I_5,\\ I_4 + I_5 = I_3,\\ 1\cdot I_1 + 5\cdot I_5 = 4\cdot I_4,\\ 5\cdot I_5 + 3\cdot I_3 = 2\cdot I_2, \end{cases}\] откуда находим связи между силами токов: \[I_1 = 11I_5,\qquad I_2 = 10I_5,\qquad I_3 = 5I_5,\qquad I_4 = 4I_5. \tag{1}\] Правила Кирхгофа для 3 и 4 пунктов задачи имеют вид \[\begin{cases} I_1 = I_2 + I_5,\\ I_4 + I_5 = I_3,\\ \dfrac{I_1}{1^2} + \dfrac{I_5}{5^2} = \dfrac{I_4}{4^2},\\[2mm] \dfrac{I_5}{5^2} + \dfrac{I_3}{3^2} = \dfrac{I_2}{2^2}, \end{cases}\] откуда находим связи между силами токов: \[I_1 = -\dfrac{17}{55}\cdot I_5,\qquad I_2 = -\dfrac{72}{55}\cdot I_5,\qquad I_3 = -\dfrac{909}{275}\cdot I_5,\qquad I_4 = -\dfrac{1184}{275}\cdot I_5. \tag{2}\] Если измерение температур производится через малое время после замыкания цепи (пункты 1 и 3 задачи), то можно пренебречь теплопотерями и считать, что всё выделившееся количество теплоты идёт на нагревание проволоки, масса которой зависит линейно от длины \(L_n\) и квадратично от диаметра \(D_n\), поэтому прирост \(\Delta T_n\) температуры резистора \(R_n\) имеет вид \[\Delta T_n = k_{13}\cdot\dfrac{I_n^2R_n}{L_nD_n^2},\] где \(k_{13}\) — коэффициент пропорциональности. С учётом известного значения \(\Delta T_5\) удобно записать этот же результат в виде \[\dfrac{\Delta T_n}{\Delta T_5} = \left(\dfrac{I_n}{I_5}\right)^2\cdot\dfrac{R_n}{R_5}\cdot\dfrac{L_5}{L_n}\cdot\left(\dfrac{D_5}{D_n}\right)^2 = \left(\dfrac{I_n}{I_5}\right)^2\cdot\left(\dfrac{D_5}{D_n}\right)^4. \tag{3}\] Если измерение температур производится через большое время после замыкания цепи (пункты 2 и 4 задачи), то превышение \(\Delta T_n\) температуры резистора \(R_n\) над окружающей средой будет определяться равенством мощностей тепловыделения и теплоотдачи, которая пропорциональна площади поверхности проволоки (длине \(L_n\) и диаметру \(D_n\)) и \(\Delta T_n\), откуда получаем выражение \[\Delta T_n = k_{24}\cdot\dfrac{I_n^2R_n}{L_nD_n},\] где \(k_{24}\) — коэффициент пропорциональности. С учётом известного значения \(\Delta T_5\) удобно записать этот же результат в виде \[\dfrac{\Delta T_n}{\Delta T_5} = \left(\dfrac{I_n}{I_5}\right)^2\cdot\dfrac{R_n}{R_5}\cdot\dfrac{L_5}{L_n}\cdot\dfrac{D_5}{D_n} = \left(\dfrac{I_n}{I_5}\right)^2\cdot\left(\dfrac{D_5}{D_n}\right)^3. \tag{4}\] Таким образом, мы рассмотрели влияние каждого фактора по отдельности, а результаты их сведения воедино представлены в табл. 1 (пояснение расчёта) и табл. 2 (итог расчёта). Наименьшей во всех опытах оказалась температура центрального резистора, поэтому окончательные ответы имеют вид \[\max\{\Delta T_1;\Delta T_2;\Delta T_3;\Delta T_4\} - \Delta T_5.\] Ответы с учётом указанного в условии округления: \(\{1200; 1200; 833; 496\}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.