Одноразовая идеальная линза

Все лучи, сошедшиеся в одной точке, прошли одинаковые оптические длины путей, поэтому приравняйте оптический путь произвольного луча и луча вдоль оси.

\(H = \dfrac{f}{n + 1}\left(\sqrt{1 + \dfrac{(n + 1)R^2}{(n - 1)f^2}} - 1\right) = 0{,}2\) м.

Чтобы все падающие лучи после прохождения линзы пересеклись в одной точке \(F\), у них должны быть одинаковые оптические длины путей. Введём показанную на рисунке систему координат \(Oxy\) и запишем равенство оптической длины пути произвольного луча, преломившегося на выпуклой поверхности линзы в точке с координатами \((x; y)\), и оптической длины пути луча, прошедшего вдоль оси симметрии линзы: \[n\cdot(H - y) + 1\cdot\sqrt{x^2 + (y + f)^2} = n\cdot H + 1\cdot f,\] откуда после упрощения получаем квадратное уравнение \[(n^2 - 1)y^2 + 2f(n - 1)y - x^2 = 0,\] положительное (осмысленное) решение которого имеет вид \[y = \dfrac{f}{n + 1}\left(\sqrt{1 + \dfrac{(n + 1)x^2}{(n - 1)f^2}} - 1\right).\]

Искомая величина \(H\) — это значение \(y\) в точке \(x = R\), из чего следует ответ: \[H = \dfrac{f}{n + 1}\left(\sqrt{1 + \dfrac{(n + 1)R^2}{(n - 1)f^2}} - 1\right) = 0{,}2\text{ м}.\] Примечание. Предлагаем читателям самостоятельно подумать над следующими вопросами. Как называется найденная нами математическая форма выпуклой поверхности линзы в пространстве? Почему обычно используют сферические линзы, хотя из нашего решения следует, что для идеальности линзы поверхность должна иметь не сферическую форму? Почему в тексте задачи мы намеренно не использовали термины «фокус», «фокусное расстояние» и «оптическая сила»? Подсказка содержится в названии задачи.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.