Задачи › Уравнение вращения, раскрутка и торможение

Гироскоп

  1. Гироскоп

    IEPhO 2014/15, 11 кл.
    6/10

    Оборудование

    Рисунок

    1. Гироскоп (волчок)

    2. Нитка длиной около \(90~ см\)

    3. Нитка длиной около \(10 ~см\)

    4. Подставка с остриём

    5. Груз массой \(m_1\) (около \(1~ кг\))

    6. Секундомер с памятью этапов (до 30 этапов)

    7. Струбцина быстрозажимная

    8. Линейка

    9. Скрепка

    10. Кусочек пластилина

    11. Зубочистка

    Теоретическое введение

    В прямом переводе слово гироскоп — прибор для обнаружения вращения. В широком смысле гироскопом называется быстро вращающееся твердое тело, ось которого может менять положение в пространстве. Гироскоп, в особенности, когда на него действуют внешние силы, может совершать удивительные движения, кажущиеся на первый взгляд неожиданными и непонятными. Вся теория гироскопов построена на векторном уравнении для момента импульса относительно точки опоры \(O\):

    \[\frac{\mathrm d\vec{L}}{\mathrm dt} = \vec{M} .\qquad(1)\]Здесь \(\vec{M}\) — сумма моментов внешних сил относительно точки \(O\), \(\vec{L}\) — момент импульса относительно точки \(O\). Если ось вращающегося волчка отклонена от вертикали, то под действием силы тяжести ось описывает в пространстве круговой конус с вертикальной осью. Такое движение волчка называют вынужденной прецессией.

    Рисунок

    Экспериментальные советы:

    1. Для раскручивания волчка на его оси проделано отверстие, проденьте в него конец длинной нити (не привязывайте ничего к оси волчка!) и намотайте ее на ось волчка, повесьте на другой конец нити груз, отпустите волчок, держа гироскоп за защитную оболочку, и дайте волчку раскрутиться под тяжестью груза.

    2. В частях 2 и 3 волчок должен находиться на специальной подставке с торчащим острием, для установки на это острие на оси симметрии гироскопа в защитной оболочке имеется круглое отверстие, после раскручивания волчка устанавливайте его этим отверстием на острие.

    3. Для того, чтобы вам не пришлось повторять ваши измерения, советуем устанавливать гироскоп на подставку/подвес сразу же после разгона, пока угловая скорость волчка не успеет измениться.

    4. В части D вам понадобится измерить угол наклона гироскопа, пластилин и зубочистка даны вам именно для этих целей (при необходимости зубочистку можно укорачивать).

    5. Подвешивайте гироскоп на горизонтально вкрученный в подставку саморез.

    6. К особенностям движения гироскопа нужно привыкнуть, человеческий мозг, не привыкший встречаться с гироскопами в повседневной жизни, воспринимает их как обычные тела, не обладающие большим моментом инерции, и пытается ими так же управлять, что зачастую приводит к многократному падению гироскопа на пол. Пожалуйста, во избежание поломок оборудования:

      • Подстраховывайте гироскоп, стоящий на подставке, рукой, крепко удерживайте защитную оболочку за пластиковую часть при разгоне гироскопа.

      • Перед тем, как пытаться «поправить» гироскоп на подставке, сначала подумайте, как надо приложить к нему силу для того, чтобы он отклонился в нужную сторону.

      • Не касайтесь быстро вращающихся частей гироскопа.

    Часть A. Период прецессии (1 балл)

    Далее используйте следующие обозначения:

    • \(I\) – момент инерции ротора волчка относительно оси симметрии;

    • \(\omega\) – угловая частота вращения ротора волчка вдоль оси симметрии;

    • \(m = 127 ~ г\) – общая масса ротора и рамы волчка;

    • \(g = 9.81 ~ м/с^2\) – ускорение свободного падения;

    • \(r\) – расстояние от точки опоры \(O\) до центра масс волчка.

    Также используйте следующие приближения:

    1. Пренебрегите силой трения, учитывайте только силу тяжести. Тогда \(\vec{M} = [\vec{r}, m \vec{g}]\).

    2. Считайте, что момент импульса волчка \(\vec{L}\) направлен вдоль оси волчка, а его модуль \(|\vec{L}| = I \omega\).

    3. Пренебрегите потерями энергии: считайте, что модуль момента импульса остаётся постоянным.

    A1. Теоретически получите выражение для периода прецессии волчка \(T_1\).

    Часть B. Момент инерции волчка (4 балла)

    Рисунок

    B1. Раскрутите волчок с помощью груза \(m_1\) и измерьте период его прецессии. Используя эти данные и проведя необходимые дополнительные измерения геометрических размеров, определите момент инерции ротора волчка \(I\) и частоту вращения волчка (в \(Гц\)) в эксперименте.

    B2. До какой максимальной частоты удаётся раскрутить волчок, дёргая за нить рукой? Ответ выразите в герцах.

    Часть C. Момент силы трения (3 балла)

    Момент силы тяжести только поворачивает момент импульса волчка. Момент силы трения между ротором и рамой изменяет его модуль.

    C1. Раскрутите волчок и поставьте на подставку. Постройте график зависимости частоты вращения ротора волчка (в \(Гц\)) от времени до того момента, как частота уменьшится в \(2\) раза.

    C2. На основе графика сделайте качественный вывод о зависимости момента силы трения, действующего на ротор, от скорости вращения волчка. Определите средний момент силы трения.

    Часть D. Другая прецессия (2 балла)

    Чтобы наблюдать другой вид прецессии волчка, его нужно подвесить на нитке за железный обруч и отклонить на угол \(\alpha\) от вертикали.

    Рисунок

    D1. Теоретически выведите формулу для периода прецессии \(T_2\) в этом случае.

    D2. Экспериментально исследуйте зависимость периода прецессии \(T_2\) от угла \(\alpha\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    B1: \[I=4.3 \cdot 10^{-5} ~кг\cdot м^{2}.\];  B2: \[\nu_{\max } \simeq 100~Гц\];  C2: \[M_{тр}=1.7 \cdot 10^{-4} ~Н\cdot м\];  D1: \[T_{2}=\frac{2 \pi \omega I}{z m g} \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} \qquad(6)\]

    Решение

    A1. За один оборот конец вектора \(\vec{L}\) описывает окружность длиной

    \[\Delta L=2 \pi|L| \sin (\alpha), \qquad(1)\]где \(\alpha\) – угол с вертикалью. Момент силы тяжести

    \[\left|\vec{M}_{g}\right|=r \sin (\alpha) m g \qquad(1.1) \tag{1}\]Из уравнения для момента импульса относительно точки \(O\) следует:

    \[\left|\vec{M}_{g}\right| T_{1}=\Delta L \qquad(2) \tag{2}\]Выразив \(T_{1}\) получим:

    Рисунок

    Ответ:

    \[T_{1}=\frac{2 \pi I \omega}{r m g} \qquad(3) \tag{3}\]\[\Omega=\frac{r m g}{I \omega}\qquad(4) \tag{4}\]

    B1. Для нахождения момента инерции волчка воспользуемся законом сохранения энергии и уравнением \((3)\). Получим систему уравнений:

    \[\left\{\begin{array}{l} {T}_{1}=\dfrac{2 \pi I \omega}{r m g}, \\ m_{1} g h=\dfrac{m_{1}(b \omega)^{2}}{2}+\dfrac{I \omega^{2}}{2} . \end{array}\right.\]Здесь \(r=4.1~см\) – расстояние от точки опоры \(О\) до центра масс волчка, \(h=85~см\) – длина той части нити, которой раскручивают волчок, \(b\) – расстояние от точки приложения силы тяжести груза к волчку до оси волчка. Чтобы определить \(b\), посчитаем, сколько оборотов совершает волчок, когда на него накручивают нить длинной \(c=21.8~см\). Он совершает \({N}_{об}=10\):

    \[2 \pi b N_{об}=c\implies b=0.35~см.\]\({T}_{1}\) – период прецессии после раскручивания грузом. Измеряем его, поставив волчок на подставку сразу после раскручивания. Если гироскоп начинает вибрировать, вставать в вертикальное положение или по каким-то еще причинам вследствие его не идеальности большая угловая скорость не позволяет измерить период прецессии, то следует укоротить разгонную часть нити.

    \[T_{1}=2.9~с.\]Из первого уравнения выражаем \(\omega\) и подставляем во второе. Получаем квадратное уравнение относительно \(I\):

    \[\frac{8 \pi^{2} m_{1} h}{T_{1}^{2} m^{2} g r^{2}} I^{2}=m_{1} b^{2}+I\]Решив квадратное уравнение и выбрав положительный корень, получим:

    \[I=\frac{1+\sqrt{1+4 a m_{1} b^{2}}}{2 a},\qquad a=\frac{8 \pi^{2} m_{1} h}{T_{1}^{2} m^{2} g r^{2}}\]

    Ответ:

    \[I=4.3 \cdot 10^{-5} ~кг\cdot м^{2}.\]

    При различных оценках могут понадобиться другие параметры волчка такие как внешний радиус \(R_1=3~см\), внутренний \(R_2=2~см\).

    B2. Подставив значение \(I\) в \((3)\), получим\[\nu_{1}=\dfrac{\omega}{2 \pi}=T_{1} \dfrac{r m g}{4 \pi \pi I}=91~Гц\implies \omega=571~\frac{рад }{с}\]При раскручивании руками максимальный период прецессии

    \[T_{\max } \simeq 3~с.\]А соответствующая частота из \((3)\):

    Ответ:

    \[\nu_{\max } \simeq 100~Гц\]

    Оценим погрешность полученного значения \(I\). Абсолютная погрешность при измерении \(r-\Delta r=1~мм\), \(b-\Delta b=0.2~мм\), \(h-\Delta h=2~см\) (высокая погрешность \(b\) и \(h\) обусловлена растяжением нити), \(T_{1}-\Delta T_{1}= 0.2~с\) (вызвано сложностью замера поворота на \(2 \pi\) а так же установкой гироскопа на подставку).

    Итого для \(I\) имеем:\[\varepsilon \simeq 20 \% .\]

    C1. Нужно раскрутить волчок и с помощью секундомера, измеряющего круги, снять все периоды прецессии, пока период не упадёт в два раза. К частоте вращения от периода прецессии переходим по формуле:

    \[\nu=T_{1} \frac{r g m}{4 \pi^{2} I}.\]Время находится как сумма всех предыдущих периодов.

    \(T_1,~с\)2.772.72.612.522.42.42.392.332.29
    \(t,~с\)2.775.478.0810.61315.417.7920.1222.41
    \(v_1,~Гц\)86.7984.59681.77778.95775.19775.19774.88473.00471.75
    \(T_1,~с\)2.2592.1252.072.151.981.931.991.951.88
    \(t,~с\)24.66926.79428.86431.01432.99434.92436.91438.86440.744
    \(v_1,~Гц\)70.77966.58164.85767.36462.03760.47162.35161.09758.904
    \(T_1,~с\)1.931.831.8361.6851.6851.671.671.71.57
    \(t,~с\)42.67444.50446.3448.02549.7151.3853.0554.7556.32
    \(v_1,~Гц\)60.47157.33857.52652.79452.79452.32452.32453.26449.191
    \(T_1,~с\)1.571.561.531.431.491.331.361.381.39
    \(t,~с\)57.8959.4560.9862.4163.965.2366.5967.9769.36
    \(v_1,~Гц\)49.19148.87847.93844.80546.68541.67242.61243.23843.552
    \(T_1,~с\)1.341.21.321.211.161.261.131.011.09
    \(t,~с\)70.771.973.2274.4375.5976.8577.9878.9980.08
    \(v_1,~Гц\)41.98537.59841.35837.91236.34539.47835.40531.64534.152
    \(T_1,~с\)1.11.050.98
    \(t,~с\)81.1882.2383.21
    \(v_1,~Гц\)34.46532.89930.705

    График измеренной зависимости:

    Ответ:

    Рисунок

    C2. Из линейности полученной зависимости можно сделать вывод о том, что момент силы трения постоянный, он никак существенно не зависит от скорости вращения ротора. Возможно получение неправильного результата, если не добиться того, чтобы рама не проворачивалась относительно подставки.

    \[M_{тр}=-\frac{\Delta \nu}{\Delta t} 2 \pi I \qquad(5)\]

    Ответ:

    \[M_{тр}=1.7 \cdot 10^{-4} ~Н\cdot м\]

    D1. Записав момент силы тяжести относительно точки подвеса, и использовав промежуточные выкладки из первой части задачи получим:

    Ответ:

    \[T_{2}=\frac{2 \pi \omega I}{z m g} \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} \qquad(6)\]

    Здесь \(z=4~см\) – расстояние от точки подвеса до оси волчка.

    D2. Привяжем к ободу гироскопа нить и сделаем на ней петлю. Раскрутив гироскоп повесим его за эту петельку на подставку, удерживая гироскоп рукой от прецессии. Зададим угол \(\alpha\) (удлинив ось волчка зубочисткой, измерять \(\alpha\) удобнее) и измерим период прецессии, убрав руку. Так как решение о виде зависимости будет приниматься по анализу измерений лишь в 3 различных углах, то для исключения промаха измерения следует повторить несколько раз.

    Рисунок

    Ответ:

    \(T,~с\)\(T,~с\)\(T,~с\)\(\langle T\rangle,~с\)\(\operatorname{ctg}\alpha\)
    3.183.13.153.141
    3.313.243.363.301.33
    3.413.573.433.472

    Ответ:

    Рисунок

    Как видно из графика эту зависимость можно считать линейной, что подтверждает полученную теорию.

    Источник: pho.rs/p/3719.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх