Удельное электросопротивление воздуха

A1. Удельное электросопротивление \(\rho\) можно определить по скорости уменьшения заряда уединённого шарика с течением времени. Заряд шара (см. теорию ниже) уменьшается по экспоненте \(q=q_{0} e^{-{t}/{\tau}}\), где время релаксации \(\tau=\rho \varepsilon_{0}\).

Теория

Заряд уединённого заряженного шарика, подвешенного на тонкой нити в воздухе, с течением времени уменьшается. Это связано с конечной величиной удельного сопротивления воздуха \(\rho\). По закону Ома в дифференциальной форме плотность электрического тока пропорциональна напряжённости \(\vec E\) электрического поля шарика:

\[\vec j=\frac{1}{\rho} \vec E.\]Величину полного тока \(I\), определяющего скорость изменения заряда шарика \(q\), находим интегрированием по замкнутой поверхности, охватывающей шарик. Используя теорему Гаусса для потока вектора \(\vec E\) через замкнутую поверхность, получаем (диэлектрическую проницаемость воздуха считаем равной единице \(\varepsilon \approx 1\)):

\[I=\int \vec j \cdot \mathrm d \vec S=\frac{1}{\rho} \int\vec E \cdot \mathrm d \vec S=\frac{q}{\rho \varepsilon_{0}}.\]Скорость изменения заряда шарика:

\[\frac{\mathrm d q}{\mathrm d t}=-I=-\frac{q}{\rho \varepsilon_{0}}.\]Решая уравнение, находим, что с течением времени заряд шарика изменяется по экспоненциальному закону:

\[q=q_{0} e^{-{t}/{\tau}},\]где \(q_{0}\) – начальный заряд шарика, \(\tau=\varepsilon_{0} \rho\) – характерное время, за которое заряд шарика уменьшается в \(e\) раз (время релаксации).

Эксперимент

Методика

Подвешиваем теннисные шарики на штативе так, чтобы расстояние между нитями равнялось диаметру шарика \(d_{0}=2R=40~мм\). Длина нитей \(l=130~см\). Незаряженные шарики при этом слегка соприкасаются (рис. 1). На высоте \(\sim 20~см\) от шариков подвешиваем линейку в горизонтальном положении.

Калибровка

Заряжаем шарики с помощью пластмассовой палочки, наэлектризованной трением о полиэтиленовый пакет. Измеряем расстояние между нитями на высоте линейки: \(d_{1}\approx75~мм\) (рис. 2). Разряжаем один из шариков, коснувшись его рукой. После соприкосновения между собой шарики расходятся так, что расстояние между нитями на уровне линейки оказывается равным \(d_{2}\approx48~мм\). Заряды шариков при этом уменьшаются вдвое. Калибровка проведена. Вновь заряжаем шарики так, что расстояние между нитями, отсчитанное по линейке, вновь становится равным \(d_{1}=75~мм\). С помощью секундомера измеряем время \(T_{1 / 2}\), за которое расстояние между нитями уменьшается до \(d_{2}=48~мм\). Это время соответствует уменьшению заряда вдвое.

Рис. 1

Рис. 2

Измерения

\[T_{1/2} \approx 14 ~{мин}=840~с \implies \ln 2=\frac{T_{1/2}}{\tau} \implies \tau=\rho \varepsilon_{0}=\frac{T_{1/2}}{\ln 2} \rightarrow \rho=\frac{T_{1/2}}{\varepsilon_{0} \ln 2}\]Подставив измеренное значение \(T_{1/2}\), получим:

Ответ:

\[\rho=\frac{840~с}{ \ln 2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} ~Ф/м } \approx 1.4 \cdot 10^{14}~{Ом} \cdot {м}\]

Источник: pho.rs/p/3959.