Гук или не Гук

Решение

A1. С помощью бруска и струбцины закрепляем резиновый шнур на столе с закреплённой мерной лентой.

Растягиваем шнур, подцепив его к динамометру и, используя мерную ленту, снимаем зависимость \(l(F)\) (см. таблицу) (\(l\) – длина шнура в сантиметрах, \(F\) – показания динамометра, \(l /l_0\) – отношение длины резины к длине \(l_0\) недеформированного шнура):

Ответ:

Эти измерения удобно проводить следующим образом: закрепляем шнур над шкалой, делаем на шнуре две отметки, расстояние между которыми равно, например, \(l_0=30~см\). Подцепляем к шнуру динамометр, растягиваем шнур и измеряем расстояние \(l\) между метками на резине в зависимости от показаний динамометра \(F\).

A2. Ответ:

По закону Гука:\[\Delta l/l=\Delta F/ES \rightarrow \Delta F=(ES/l)\Delta l=k\Delta l \implies\]

Ответ:

\[k=\dfrac{ES}{l}\]

Здесь \(S=\pi d^2/4\) – поперечное сечение цилиндрического шнура.

A3. По закону Гука для небольших деформаций:

\[\mathrm dl/l=\mathrm dF/ES\implies \mathrm dl/l^2=\mathrm dF/ESl=\mathrm dF/ EV=\mathrm dF/EV_0.\]Здесь \(V=Sl=S_0 l_0=\pi d_0^2l_0/4\) – объём шнура, который, по условию, не изменяется; \(l_0\), \(d_0\), – длина и диаметр, а \(S_0=\pi d_0^2/4\) – площадь сечения недеформированного шнура.

Интегрируем уравнение:\[\mathrm dl / l^2=\mathrm dF/EV_0 \implies 1 / l_0-1 / l=F/EV_0 \implies l /l_0=1/\left(1-F/ES_0\right)\] – зависимость \(l(F)\) при условии, что модуль Юнга \(E\) и объём \(V\) резины при деформации не изменятся.

Линеаризованный график зависимости \(l(F)\):

Ответ:

Модуль Юнга:

Ответ:

\[E=(1.1\pm0.1)~МПа\]

A4. В координатах (\(F, l_0/l\)) график теоретической зависимости \(l(F)\) имеет вид прямой линии \(l_0/l=1-\beta F\), тангенс угла наклона которой \(\beta=1/ES_0\).

Для сравнения теории с экспериментом, используя данные таблицы, строим график линеаризованной зависимости \(l(F)\), откладывая по оси \({Oy}\) значения \(l_0/l\), а по оси \({Ox}\) – показания динамометра \(F\).

Вплоть до значений \(l_0/l \sim 0.4-0.5\) график этой зависимости хорошо экстраполируется прямой линией с тангенсом угла наклона:

\[\beta=\Delta\left(l_0/l\right) / \Delta F=-0.18~Н^{-1}\]

A5. Поскольку теоретическая зависимость \(l(F)\) была получена в предположении \(E=\operatorname{const}\), то естественно предположить, что отклонение от теоретической зависимости при больших деформациях связано с тем, что модуль Юнга при больших напряжениях начинает зависеть от самой деформации, т.е. перестаёт быть величиной постоянной. Как видно из рисунка заметное отклонение экспериментальных точек от линеаризованного графика \(l(F)\) наблюдается при длинах шнура \(l> 2.5~l_0\).

A6. Экспериментальное значение модуля Юнга определяем по углу наклона \(|\beta|=1 ES_0=0.182~Н^{-1}\) экстраполированного прямой \(l_0/l=1-\beta F\) линеаризованного графика зависимости \(l(F)\):

\[E=1/|\beta|S_0=4/|\beta|\pi d_0^2=112~Н/см^2=1.12~МПа.\]

Ответ:

\[E=(110\pm10)~Н/см^2 \quad\text{в пределах}\quad l/l_0 < 2.2\]

A7. Для шнура цилиндрической формы длиной \(l\) и диаметром \(d\) объём:

\[V=1/4ld^{2} \implies d^{2}=4 V /l.\]Возьмём «логарифмическую производную» последнего выражения, т.е. прологарифмируем обе его части и найдём их дифференциалы, считая \({V}=\operatorname {const}\). Получим:

\[2 \Delta d/d=-\Delta l/ l \implies \Delta d/d=-1/2 \Delta l/ l \implies\]

Ответ:

\[\mu=-1/2\]

При таком значении коэффициента Пуассона объём материала при его деформациях не изменяется.

A8. Найдём теоретическую зависимость ширины ленты \(b/b_{0}\) от длины \(l/l_{0}\) при её растяжении.

Эта зависимость получается из дифференциального уравнения, определяющего коэффициент Пуассона:

\[\mathrm db/b=-\mu \,\mathrm dl/l\implies b/b_{0}=\left(l/l_{0}\right)^{-\mu}\]

Снимаем экспериментальную зависимость \(b(l)\). Для этого растягиваем ленту и измеряем её ширину \(b\) при каждом фиксированном значении длины \(l\) (точнее, длины выделенного на ленте участка). Лента фиксируется с помощью струбцин.

Результаты эксперимента представлены в таблице ниже:

Для определения коэффициента Пуассона построим график зависимости \(b (l)\) в двойном логарифмическом масштабе. В таком масштабе эта зависимость представляет собой прямую линию, с тангенсом угла \(\alpha\) наклона, равным коэффициенту Пуассона \(\mu=-\operatorname{tg} \alpha\):\[\ln {b}={C}-\mu \ln l.\]Линеаризованный график зависимости \({b}(l)\) строим, используя данные таблицы:

Ответ:

График хорошо экстраполируется прямой \(y=5.72-0.36{x}\). Коэффициент Пуассона резины, из которой изготовлена лента:

Ответ:

\[\mu=0.36\]

Источник: pho.rs/p/3957.