Треугольный цикл

Первый способ решения. Теплоёмкость в точке \(K\) равна нулю, поэтому адиабата является касательной к прямой \(AB\) в точке \(K\). Уравнение адиабаты: \(pV^{\gamma} = \text{const}\). Продифференцируем по объёму \(V\): \(p'_V V^{\gamma} + \gamma p V^{\gamma - 1} = 0\). Угловой коэффициент прямой \(AB\) равен: \[k = p'_V = -\dfrac{C_p}{C_V}\dfrac{p_K}{V_K} = -\gamma\dfrac{p_K}{V_K}.\]

Второй способ решения. Рассмотрим процесс, описываемый прямой, проходящей через точку \(K\). При небольшом изменении объёма \(\Delta V\) газ получит теплоту: \[Q = \Delta U + p_K\Delta V.\] Используя уравнение состояния идеального газа, свяжем изменение температуры \(\Delta T\) с изменениями давления \(\Delta p\) и объёма \(\Delta V\): \[p_K\Delta V + V_K\Delta p = \nu R\Delta T.\] Отсюда получим выражение для теплоты: \[Q = \dfrac{C_p}{R}p_K\Delta V + \dfrac{C_V}{R}V_K\Delta p,\] которая равна нулю, так как теплоёмкость остаётся равной нулю в течение всего малого процесса. Прямая \(AB\), проходящая через \(K\), имеет наклон: \[k = \dfrac{\Delta p}{\Delta V} = -\dfrac{C_p}{C_V}\dfrac{p_K}{V_K} = -\gamma\dfrac{p_K}{V_K},\] для многоатомного газа \(\gamma = 4/3\).

Общая часть. Учтено, что для многоатомного газа \(C_V = 3R\) (\(\gamma = 4/3\)). Уравнение прямой \(AB\): \[p = p_K - \gamma\dfrac{p_K}{V_K}(V - V_K).\] Удобно построить эту прямую, найдя значение объёма \(V_1\) при нулевом давлении: \(V_1 = \dfrac{7V_K}{4}\).

Из точки \(K\) построим перпендикуляр \(KE\) к оси \(V\). Точке \(E\) соответствует значение объёма \(V_K\). Разделив отрезок \(OE\) пополам, и его левую часть ещё пополам, найдём отрезок \(DE\), равный \(\dfrac{3V_K}{4}\) (рис. 18). На оси \(V\) от точки \(E\) отложим отрезок \(EF\), равный \(DE\). По построению \(OF = V_1\). Проведём прямую через \(F\) и \(K\), на которой находятся точки \(A\) и \(B\). Треугольник \(ACB\) прямоугольный, поэтому \(CK = CB = CA\). Проведём окружность радиуса \(CK\) с центром в точке \(K\). Точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(KF\).