Перевороты

Исходное количество воздуха в цилиндре \[\nu_0 = \dfrac{p_0 S h_0}{RT}.\] Уравнение состояния идеального газа, расположенного над поршнем после \(n\) переворотов: \[p_0 S h_n = \nu_n R T,\] где \(h_n\) — расстояние от верхнего торца до поршня после \(n\)-го переворота, \(\nu_n\) — количество газа. После \(n + 1\) переворота это же количество воздуха окажется внизу под поршнем: \[(p_0 + \Delta p) S (h_0 - h_{n+1}) = \nu_n R T,\] где \(\Delta p = \dfrac{mg}{S}\). Разделив второе уравнение на первое, получим \[(p_0 + \Delta p)(h_0 - h_{n+1}) = p_0 h_n.\] Отсюда выражаем \(h_{n+1}\) через \(h_n\): \[h_{n+1} = h_0 - \dfrac{p_0}{p_0 + \Delta p} h_n.\] Ответим на первый вопрос. После первого переворота количество воздуха под поршнем будет равно \(\nu_0\). Найдём \(h_1\) из последнего соотношения, положив \(n = 0\): \[h_1 = h_0\dfrac{\Delta p}{p_0 + \Delta p}.\] Количество воздуха над поршнем \[\nu_1 = \dfrac{p_0 S h_1}{RT}.\] При этом количество воздуха в цилиндре будет равно \[\nu_{0,1} = \nu_0 + \nu_1 = \nu_0\dfrac{p_0 + 2\Delta p}{p_0 + \Delta p}.\] Это количество будет максимальным, так как под поршнем воздуха \(\nu_0\), и при последующих переворотах его всегда будет меньше. А над поршнем давление воздуха \(p_0\), и, следовательно, максимальное количество воздуха в цилиндре равно \(\nu_{0,1}\).

После большого количества переворотов \(h_{n+1} = h_n\), отсюда получаем: \[h = \dfrac{p_0 + \Delta p}{2p_0 + \Delta p}h_0.\] Количество воздуха в цилиндре будет равно \[\nu = \nu_0\dfrac{2(p_0 S + mg)}{2p_0 S + mg}.\]

Примечание. На рисунке 19 приведена качественная диаграмма, показывающая, как изменяется количество воздуха в цилиндре в зависимости от \(n\). От участников олимпиады решение рекуррентного уравнения или уравнения \(\nu_{n+1} = f(\nu_n)\) не требуется.