Два блока

Угол \(\alpha_0\), соответствующий положению равновесия, определяется из уравнения: \[M g \sin\alpha_0 = m g.\] По второму закону Ньютона для груза \(m\) (рис. 17): \[m a = m g - T.\] По второму закону Ньютона для точечной массы \(M\) в проекции на ось \(Ox\): \[M a = T - M g \sin\alpha.\] Так как нить нерастяжимая, то значения ускорений точечной массы \(M\) и груза \(m\) совпадают. Исключая \(T\) из уравнений, получим: \[(M + m) a = m g - M g \sin\alpha.\] Масса \(M\) закреплена на краю блока, поэтому выполняется соотношение \(a = R\ddot{\alpha}\).

Угол \(\alpha\) представим в виде \(\alpha = \alpha_0 + \beta\), \(\beta \ll 1\). Тогда \[\sin\alpha = \sin\alpha_0\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha_0 \approx \sin\alpha_0 + \cos\alpha_0 \cdot \beta.\] Подставляя это в уравнение движения, получим: \[(M + m) R\ddot{\alpha} = -M g\cos\alpha_0 \cdot \beta.\] Учитывая, что \(\ddot{\alpha} = \ddot{\beta}\), получаем уравнение гармонических колебаний: \[\ddot{\beta} + \omega^2\beta = 0,\] где \(\omega = \sqrt{\dfrac{M g\cos\alpha_0}{(M+m)R}}\). Выразим \(\cos\alpha_0\) из уравнения равновесия. Окончательно получаем: \[T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}\cdot\left(\dfrac{M+m}{M-m}\right)^{1/4}.\]