Два шарика

Уравнение движения первого шарика по оси \(x\) (см. рис. 16):

\[x_1 = v_1\cos\alpha_1\cdot t.\] Используя график \(x_1 = f(t)\), получим \[v_1 = \dfrac{x_1}{t\cos\alpha_1} = 2\dfrac{x_1}{\sqrt{3}\,t},\] \[v_1 = 10\text{ м/с} = v_2 = v,\] где \(v_1\) и \(v_2\) — начальные скорости первого и второго шариков соответственно.

Время полёта первого шарика до удара о плоскость \[t_1 = \dfrac{2v\sin\alpha_1}{g} = 1\text{ с};\] время полёта этого шарика после удара \[\tau = \dfrac{7}{5}\text{ с} - t_1 = \dfrac{2}{5}\text{ с}.\] Итак, первый шарик через время \(t = \dfrac{7}{5}\) с окажется на высоте \[y_1 = (v\sin\alpha_1)\,\tau - \dfrac{g\tau^2}{2} = \dfrac{6}{5}\text{ м}.\] В то же время, равное \(t = \dfrac{7}{5}\) с, высота, на которой находится второй шарик, равна \[y_2 = (v\sin\alpha_2)t - \dfrac{gt^2}{2} = 14\sin\alpha_2 - \dfrac{49}{5}.\] Заметим, что к моменту \(t\) второй шарик ещё ни разу не ударится о поверхность. Это можно показать, оценив время его полёта до первого удара. Описанная ситуация проиллюстрирована на рис. 16.

По условию задачи \(y_1 = y_2\). Следовательно, \(14\sin\alpha_2 - \dfrac{49}{5} = \dfrac{6}{5}\), откуда \[\sin\alpha_2 = \dfrac{11}{14}\text{ или }\alpha_2 \approx 52^\circ.\] Расстояние \(l\) между шариками в момент времени \(T = 1\) с равно \[l = |\Delta\vec r| = |\vec r_1 - \vec r_2| = \left|\vec v_1T + \dfrac{\vec gT^2}{2} - \left(\vec v_2T + \dfrac{\vec gT^2}{2}\right)\right| = |\vec v_1 - \vec v_2|T =\] \[= \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos(\alpha_2 - \alpha_1)}\cdot T = \sqrt{14}\text{ м} \approx 3{,}7\text{ м}.\]