Поршень и два шарика

Пусть в некоторый произвольный момент времени поршень движется влево. Его смещение равно \(x\), скорость \(u(x) = \Delta x/\Delta t\). Обозначим скорость левого шарика в этот момент через \(v\) (рис. 156). При каждом отскоке шарика от поршня скорость шарика увеличивается на \(2u\). За малое время \(\Delta t\) число ударов о поршень равно \[\Delta N = \Delta t\left(\dfrac{2(l - x)}{v}\right)^{-1} = \dfrac{v\Delta t}{2(l - x)},\] где \(l\) — расстояние между поршнем и стенкой при равновесии. Полное изменение скорости шарика за это время равно \(\Delta v = 2u\Delta N = \dfrac{v\Delta x}{l - x}\). Получаем уравнение относительно \(v\) и \(x\): \[\dfrac{\Delta v}{v} = \dfrac{\Delta x}{l - x}.\] Строгое решение этого уравнения приводит к соотношению: \[v(x)(l - x) = v_0 l = \text{const},\] где \(v_0\) — скорость шарика при равновесном положении поршня (\(x = 0\)). Этот же результат получим и при малых смещениях поршня, если положить, что \(\Delta x \approx x\), а \(v \approx v_0\). Тогда \(\Delta v = \dfrac{v_0 x}{l - x}\), а \[v(x) = v_0 + \Delta v = v_0\dfrac{l}{l - x}.\] Найдем силу \(F_1\), действующую в этот момент на поршень со стороны левого шарика. Число ударов шарика о поршень в единицу времени \[N = \dfrac{v}{2(l - x)} = \dfrac{v_0 l}{2(l - x)^2}.\] При каждом ударе изменение импульса шарика \[\Delta p = -2mv = -\dfrac{2mv_0 l}{l - x}.\] Поэтому \[F_1 = \dfrac{mv_0^2 l^2}{(l - x)^3}.\] Аналогично сила со стороны правого шарика \[F_2 = \dfrac{mv_0^2 l^2}{(l + x)^3}.\] При \(\dfrac xl \ll 1\) \[F_1 \approx \dfrac{mv_0^2}{l}\left(1 + \dfrac{3x}{l}\right),\quad F_2 = \dfrac{mv_0^2}{l}\left(1 - \dfrac{3x}{l}\right).\] Уравнение движения поршня: \[M\ddot x = F_2 - F_1 = -\dfrac{6mv_0^2 x}{l^2}.\] Поскольку равновесная частота \(f = v_0/(2l)\), то уравнение движения будет иметь вид \[\ddot x + 24f^2\dfrac mM\,x = 0.\] Следовательно, круговая частота равна \(\omega = 2\sqrt6\,f\sqrt{\dfrac mM}\), а период \[T = \dfrac{\pi}{\sqrt6}\sqrt{\dfrac Mm}\,\dfrac1f.\]