Равновесные поршни

Выразите изменение давления на дно через подъём уровня и через растяжение пружины, и приравняйте давления в сообщающихся сосудах на одной высоте.

Пусть после того, как на средний поршень положили грузик массой \(m_2\), он опустился на \(\Delta h_2\), а боковые поршни поднялись на \(\Delta h_1\) и \(\Delta h_3\). Объём воды не изменился, поэтому \(\Delta h_1 + \Delta h_3 = \Delta h_2\).

Давление на дно в левом сосуде изменилось на \(\Delta P_1 = \rho g\Delta h_1 + \dfrac{k\Delta h_1}{S}\) (подъём уровня и дополнительное растяжение пружины; силу тяжести поршня уже учли в равновесии), в правом сосуде аналогично \(\Delta P_3 = \rho g\Delta h_3 + \dfrac{k\Delta h_3}{S}\). На одной высоте давления в жидкости одинаковы, поэтому \(\Delta P_1 = \Delta P_2\), откуда \(\Delta h_1 = \Delta h_3 = \tfrac12 \Delta h_2\).

В среднем сосуде \(\Delta P_2 = -\rho g\Delta h_2 + \dfrac{m_2 g}{S}\). Приравнивая, получаем \(\rho g\dfrac{\Delta h_2}{2} + \dfrac{k\Delta h_2}{2S} + \rho g\Delta h_2 = \dfrac{m_2 g}{S}\), откуда \[\Delta h_2 = \frac{2m_2 g}{3\rho g S + k}, \qquad \Delta h_1 = \Delta h_3 = \frac{m_2 g}{3\rho g S + k}.\]