Суперпозиция

Если все стороны нагреть на одну и ту же величину, температура внутри изменится на ту же величину. Пятиугольник с одной нагретой стороной можно повернуть в пять одинаковых положений.

Если все стороны пластины нагреть на \(\Delta T\), то и в установившемся режиме температура в любой точке тоже увеличится на \(\Delta T\), поэтому внутри зависит только от разности температур на сторонах. Вклады от разных сторон складываются независимо. Рассмотрим пять ситуаций, в каждой из которых одна сторона поддерживается при \(50\,^\circ\)C, а остальные при \(0\,^\circ\)C. Эти системы симметричны с точностью до поворота, значит температуры \(T_x\) в центрах одинаковы. Наложив их друг на друга, получаем пластину, все стороны которой имеют \(50\,^\circ\)C, а значит и в центре \(50\,^\circ\)C. С другой стороны, в центре \(5T_x\), откуда \(T_x = 10\,^\circ\)C.

Для системы из условия стороны нужно увеличить на \(20\,^\circ\)C: пятая сторона \(70\,^\circ\)C — это \(50\,^\circ\)C сверх \(20\,^\circ\)C. Значит в центре \(20 + 10 = 30\,^\circ\)C.