Удобный матрас

Оцените, как масса человека и жёсткость матраса зависят от линейного размера, и сравните относительные прогибы.

Лилипут массы \(m\) продавливает маленький матрас жёсткости \(k\) на \(\Delta h \sim \dfrac{mg}{k}\), а доля высоты \(\dfrac{\Delta h}{h} \sim \dfrac{mg}{kh}\).

Большой матрас такой же формы, но в \(12\) раз больше, значит он состоит из \(12^3\) маленьких. Слой из \(12^2\) маленьких матрасов имеет жёсткость \(12^2 k\); \(12\) таких слоёв, соединённых последовательно, имеют жёсткость \(\dfrac{1}{12}\cdot 12^2 k = 12k\). Итак, \(K = 12k\).

Для большого матраса высотой \(H = 12h\) и массы Гулливера \(M = 12^3 m\): \[\frac{\Delta H}{H} \sim \frac{Mg}{KH} = \frac{12^3 mg}{12k\cdot 12h} = 12\,\frac{mg}{kh}.\] Чтобы доля высоты была такой же, как у лилипута, жёсткость пружин маленького матраса должна быть в \(12\) раз больше.