Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Неудобный безмен

  1. Неудобный безмен

    Санкт-Петербургская 2019/20, 8 кл.
    6/10

    Неудобный безмен состоит из двух внешне неотличимых пружинок разной жёсткости. Мальчик решил измерить отношение жёсткостей пружинок, для чего соединил безмены двумя разными способами. В одном нижняя точка верхнего безмена соединена с серединой нижнего, а верхняя точка нижнего соединена с серединой верхнего. В другом два безмена прикреплены к подвесу, и их центры скреплены. Оказалось, что если подвесить к первой конструкции грузик массы \(m\), а ко второй грузик массы \(2m\), эти грузики опустятся на одинаковую высоту. Исходя только из этого наблюдения, мальчик нашёл отношение жёсткостей пружинок. Чему оно равно? Визуально один конец безмена не отличается от другого, поэтому при соединении уследить за их расположением не получается.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Каждый безмен — это две пружины, а неизвестно, какая из них сверху. Перебрать все варианты соединения и приравнять удлинения.

    Ответ

    Жёсткости пружин относятся как \(1 : 2\).

    Решение

    Обозначим жёсткости пружинок \(k_1\) и \(k_2\). Безмены внешне одинаковы, поэтому каждая конструкция имеет два варианта расположения пружинок. Для каждого варианта по закону Гука найдём удлинение \(\Delta x\) и приравняем удлинения первой конструкции (груз \(m\)) и второй (груз \(2m\)). Возможны четыре пары вариантов; три из них приводят к противоречию: Пары (I, А): \(\dfrac{1}{k_1+k_2}=0\); (I, Б): \((k_1-k_2)^2+k_1k_2=0\); (II, Б): \((2k_2-k_1)^2+k_1k_2=0\) — все три невозможны при положительных жёсткостях. Остаётся пара (II, А):\(\dfrac{1}{k_1}-\dfrac{1}{2k_2}=0\), то есть \(k_1 = 2k_2\). Жёсткости пружинок относятся как \(1 : 2\).

    РисунокРисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх