Масло в сообщающихся сосудах

Подумайте, до какого момента масло может перетекать в широкий сосуд, и какое давление на дно широкого сосуда создают масло и вода в этот момент.

Пока в сосуде есть только вода, её уровень в обоих коленах одинаковый. Когда мы наливаем масло в узкое колено, оно размещается выше воды (плотность масла меньше), давление в узком сосуде увеличивается, и масло выталкивает воду в широкое колено. Когда вся вода перейдёт в широкое колено (а оно ещё не будет заполнено доверху — его объём больше имеющейся у нас воды), туда из узкого колена начнёт перетекать и масло. В результате жидкость дойдёт до верхнего края широкого колена и далее будет выливаться из сосуда. Поэтому максимальный объём масла — это такой объём масла, который обеспечивает полное заполнение широкого колена и такое давление масла в узком колене, которое равно давлению жидкости в широком колене. Найдём этот объём.

Во-первых, объём воды в сосуде равен \[V_{\text{в}} = \pi R^2\,\frac{h}{2} + \pi (2R)^2\,\frac{h}{2} = \frac{5}{2}\pi R^2 h.\] Объём широкого колена равен \(4\pi R^2 h\), поэтому объём масла, необходимый для заполнения широкого колена, есть \[V_1 = 4\pi R^2 h - \frac{5}{2}\pi R^2 h = \frac{3}{2}\pi R^2 h.\] Эта жидкость обеспечивает следующее давление около дна широкого сосуда: \[p = \frac{\frac52\pi\rho g R^2 h}{4\pi R^2} + \frac{\frac32\pi\cdot\frac45\rho g R^2 h}{4\pi R^2} = \frac{5}{8}\rho g h + \frac{3}{10}\rho g h = \frac{37}{40}\rho g h.\] Масло в узком колене должно обеспечить это же давление, поэтому высота уровня масла в узком колене находится из равенства \[\frac{4}{5}\rho g h_1 = \frac{37}{40}\rho g h \quad\Rightarrow\quad h_1 = \frac{37}{32}\,h.\] Объём этого масла равен \[V_2 = \frac{37}{32}\pi R^2 h.\] Отсюда находим полный объём масла, который можно налить в узкое колено сосуда: \[V = V_1 + V_2 = \frac{3}{2}\pi R^2 h + \frac{37}{32}\pi R^2 h = \frac{85}{32}\pi R^2 h.\]