Много вольтметров вместе с амперметром

Покажите, что при параллельном соединении одинаковых вольтметров сумма их показаний равна току в подводящей ветви, умноженному на сопротивление одного вольтметра. Затем запишите закон Ома для первой и второй схем.

Очевидно, что если в проводник, по которому течёт ток \(I\), включены параллельно какое-то количество одинаковых вольтметров, то сумма показаний всех вольтметров равна произведению тока \(I\) на сопротивление одного вольтметра. Действительно, пусть имеется цепь, содержащая \(n\) вольтметров, включённых параллельно. Тогда, поскольку вольтметры одинаковы, через каждый течёт ток \(I/n\), показания каждого (а вольтметр показывает напряжение на самом себе) равны \(U_1 = IR/n\) (\(R\) — сопротивление вольтметра), а сумма показаний вольтметров равна \(nU_1 = IR\).

Когда в цепь включён один вольтметр (левая схема в условии), его показание \(U\) найдём по закону Ома для участка цепи: \[U = \frac{U_0 R}{R + r}, \qquad (*)\] где \(U_0\) — напряжение источника, \(R\) — сопротивление одного вольтметра, \(r\) — сопротивление амперметра. Когда в цепь включены два вольтметра (правая схема), сумма их показаний равна \[\frac{12}{7}U = \frac{U_0 R}{R/2 + r}. \qquad (**)\] Если в цепь включены очень много вольтметров \(n\), то сумма их показаний равна \[\frac{U_0 R}{R/n + r}. \qquad (***)\] При \(n \to \infty\) эта сумма стремится к \(\dfrac{U_0 R}{r}\). Таким образом, для нахождения суммы показаний большого количества вольтметров нужно знать величину \(\dfrac{U_0 R}{r}\). Найдём её из формул \((*)\) и \((**)\), переписав их в виде \[\frac{1}{U} = \frac{1}{U_0} + \frac{r}{U_0 R}, \qquad \frac{7}{12U} = \frac{1}{2U_0} + \frac{r}{U_0 R}.\] Умножая второе уравнение на 2 и вычитая из него первое, получим \[\frac{r}{U_0 R} = \frac{1}{6U}.\] Тогда из формулы \((***)\) заключаем, что сумма показаний большого количества вольтметров, включённых в нашу цепь, будет равна \[\frac{U_0 R}{r} = 6U.\]