Блоки и грузы после обрыва нити

Запишите второй закон Ньютона для левого груза, для верхнего блока и для системы «нижний блок — груз». Затем установите связь между перемещениями этих тел через длину нити.

Силы, действующие на тела и блоки, показаны на рисунке, причём модули сил \(T\) и \(T'\) равны друг другу (поскольку это силы натяжения одной и той же безмассовой нити). Второй закон Ньютона для левого тела, верхнего блока и системы «нижний блок — тело» в проекциях на ось, направленную вертикально вниз, даёт \[m a_1 = mg - T, \qquad 2m a_2 = 2mg + 2T, \qquad 2m a_3 = 2mg - 2T,\] где \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\) — ускорения левого груза, верхнего блока и системы «нижний блок — тело» соответственно. Поскольку первое и третье уравнения отличаются только множителем 2, то \(a_1 = a_3\). Поэтому только два уравнения системы независимы: \[m a_1 = mg - T, \qquad 2m a_2 = 2mg + 2T. \qquad (*)\] Установим теперь связь ускорений. Во-первых, очевидно, что и левое тело, и система «нижний блок — тело» движутся вниз (если бы их ускорения были разные, одно из них могло бы двигаться вверх; одновременно двигаться вверх они не могут). Далее, поскольку у левого тела и системы «нижний блок — тело» одинаковые ускорения, они движутся совершенно одинаково и совершают одинаковые перемещения за одинаковые интервалы времени. Поэтому, если за некоторый интервал времени левое тело переместилось вниз на величину \(\Delta x\), то система «нижний блок — тело» переместилась вниз на такую же величину. Для таких перемещений потребуется лишняя нить длиной \(3\Delta x\). Эта нить может освободиться только за счёт перемещения верхнего блока, который должен, таким образом, сместиться вниз на величину \(3\Delta x/2\). А следовательно, для ускорений имеет место связь \[a_2 = \frac{3}{2}a_1. \qquad (**)\]

Решая систему уравнений \((*)\)–\((**)\), найдём \[a_1 = a_3 = \frac{4}{5}g, \qquad a_2 = \frac{6}{5}g.\]