Сосуд с поршнем, вода и углекислый газ
6/10Герметичный вертикальный цилиндрический сосуд объёмом \(V\) разделён тонким невесомым теплопроводящим герметичным поршнем (диск соосный с сосудом) на две равные части. Поршень может перемещаться без трения. В верхней части цилиндра находится углекислый газ, а в нижней — вода и углекислый газ. В начальный момент система находилась в равновесии при комнатной температуре \(T_0\). При этом жидкость занимала объём \(V/4\). Затем цилиндр медленно нагрели до \(T = 5T_0/4 = 373\) К. Установившийся объём его верхней части стал равен \(V/5\).
По закону Генри, при заданной температуре количество \(\Delta\nu\) растворённого газа в объёме жидкости \(w\) пропорционально парциальному давлению \(p\) газа: \(\Delta\nu = kpw\). Объём жидкости при этом практически неизменен. Для углекислого газа константа Генри для данной комнатной температуры \(k \approx (1/3)\cdot 10^{-3}\) моль/(м\(^3\cdot\)Па). При конечной температуре \(T\) углекислый газ в воде практически не растворяется. Можно принять, что \(RT \approx 3\cdot 10^3\) Дж/моль, где \(R\) — универсальная газовая постоянная. Давлением водяных паров при комнатной температуре и изменением объёма жидкости в процессе нагревания пренебречь. Все газы считать идеальными.
Найти отношение количеств вещества в газообразном состоянии в верхней и нижней частях до нагревания.
Определите начальное давление в сосуде \(P_0\). Ответ выразить через \(P_{\text{атм}}\) (нормальное атмосферное давление) с числовым коэффициентом в виде обыкновенной дроби.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаУравнение состояния для каждой части до нагревания даёт \(\nu_2/\nu_1\). Во втором пункте учтите баланс давлений в конце (поршень в равновесии) и газ, выделившийся из воды по закону Генри.
Ответ1) \(\nu_2/\nu_1 = 2\); 2) \(P_0 = \dfrac{88}{185}P_{\text{атм}}\).
Решение1) \(P_0 V/2 = \nu_2 RT_0\), \(P_0 V/4 = \nu_1 RT_0\). Отсюда \(\nu_2/\nu_1 = 2\).
2) В конце давление \(P\), объём газа под поршнем \(V - V/5 - V/4 = 11V/20\). Для верхней части \(\dfrac{P_0 V/2}{T_0} = \dfrac{PV/5}{T}\), откуда \(P = \dfrac{25}{8}P_0\). По закону Дальтона \(P = P_{\text{атм}} + P_1 + P_P\), где \(P_{\text{атм}}\) — давление насыщенных паров воды, \(P_1\) — давление от количества \(\nu_1\) газа, \(P_P\) — давление от вышедшего из воды в конце количества \(\Delta\nu\) газа.
Отсюда \(P_1 = \dfrac{25}{44}P_0\) и \(P_P = \dfrac{5}{11}kP_0RT\). Итак, \[\frac{25}{8}P_0 = P_{\text{атм}} + \frac{25}{44}P_0 + \frac{5}{11}kP_0RT.\] Отсюда \(P_0 = \dfrac{88 P_{\text{атм}}}{5(45 - 8kRT)} = \dfrac{88}{185}P_{\text{атм}}\).
Похожие задачи
- Два поршня с гелием МОШ 2011/12, 10 кл.
- Гелий в колонне МОШ 2011/12, 11 кл.
- Умение отступать СПбГУ 2011/12, 10 кл.
- Эксперимент ВсОШ 2012/13, 10 кл.
- Плечом к плечу СПбГУ 2013/14, 10 кл.
- Плечом к плечу СПбГУ 2013/14, 11 кл.