Сыр с дырками и динамометр

Вес сыра в воде равен разности его силы тяжести и силы Архимеда. Сила тяжести определяется массой сыра, в которую входят и дырки, поэтому выразите массу через плотность монолитного сыра и объём дырок.

1) Запишем массу \(M\) целого куска сыра, разделив составляющие дырок и сыра: \[M = \rho_d V_d + \rho_c V_c = \rho_d V_d + \rho_c (V - V_d) = \rho_c V - (\rho_c - \rho_d) V_d,\] где \(\rho_d\) и \(\rho_c\) — плотность дырок и плотность монолитного сыра соответственно, а \(V_d\), \(V_c\) и \(V\) — объём всех дырок, объём монолитного сыра и суммарный объём сыра (дан в условиях задачи) соответственно.

2) Запишем выражение для веса \(P_1\), фиксируемого динамометром при погружении сыра в воду (подставим при этом найденное выражение для массы целого куска сыра): \[P_1 = M g - \rho_{\text{в}} V g = \rho_c V g - (\rho_c - \rho_d) V_d g - \rho_{\text{в}} V g \quad\Rightarrow\quad V_d = \frac{(\rho_c - \rho_{\text{в}}) V g - P_1}{g\,(\rho_c - \rho_d)} .\]

3) Известно, что объём сыра после его затвердевания уменьшился на \(10\%\), тогда верно \(V - V_d = 0{,}9\,V\), откуда \(V_d = 0{,}1\,V\).

4) Заметим, что плотность дырок, а если быть точным, плотность воздуха, заполняющего дырки, мала по сравнению с плотностями твёрдых тел, поэтому плотностью дырок в данной задаче можно пренебречь. Тогда будет верно \[\rho_c = \frac{\dfrac{P_1}{g} + \rho_{\text{в}} V}{V - V_d} = \frac{\dfrac{P_1}{g} + \rho_{\text{в}} V}{0{,}9\,V} = \frac{10}{9}\left(\frac{P_1}{V g} + \rho_{\text{в}}\right).\] Подставляя известные значения, находим искомую плотность монолитного сыра: \[\rho_c \approx 1{,}34\text{ г/см}^3 .\]