Сферический конденсатор с заземлением

После замыкания ключа потенциал внутреннего шара равен нулю. Систему удобно рассматривать как два соединенных конденсатора: между шарами и между внешним шаром и бесконечностью.

1) Потенциал внутреннего шара после замыкания ключа равен нулю: \[\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r_2} + \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r_1} = 0 , \qquad q = -Q\,\frac{r_2}{r_1} .\]

2) Энергия \(W_0\) — энергия конденсатора, одна обкладка которого — внешняя поверхность внешнего шара, а другая — бесконечность. Его емкость \(C_2 = 4\pi\varepsilon_0 r_1\), поэтому \[W_0 = \frac{Q^2}{2C_2} = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 r_1} .\]

3) Система состоит из двух конденсаторов с емкостями \(C_1\) и \(C_2\). Обкладки первого — внешняя поверхность внутреннего шара и внутренняя поверхность внешнего шара, обкладки второго — внешняя поверхность внешнего шара и бесконечность. Можно показать, что \[C_1 = \frac{4\pi\varepsilon_0 r_1 r_2}{r_1 - r_2}, \qquad C_2 = 4\pi\varepsilon_0 r_1 .\] По закону сохранения энергии начальная энергия \(W_H\) этих конденсаторов переходит в конечную энергию \(W_K\) и теплоту: \(W_H = W_K + W\). Здесь \[W_H = 0 + W_0 = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 r_1}, \qquad W_K = \frac{q^2}{2C_1} + \frac{(Q+q)^2}{2C_2} = \frac{Q^2 (r_1 - r_2)}{8\pi\varepsilon_0 r_1^2} .\] Отсюда \[W = \frac{Q^2 r_2}{8\pi\varepsilon_0 r_1^2} .\]