Задачи › Нити и блоки

Груз, подтягиваемый тросом через блок

  1. Груз, подтягиваемый тросом через блок

    Физтех 2021/22, 11 кл.
    5/10

    Груз массой \(m\) подтягивается по гладкой горизонтальной поверхности к стене с помощью лебедки, неподвижного небольшого легкого блока и легкого троса (см. рис.). Трос вытягивается лебедкой с постоянной скоростью \(V_0\). Груз последовательно проходит точки 1, 2 и 3, для которых \(\sin\alpha_1 = \dfrac{1}{3}\), \(\sin\alpha_2 = \dfrac{1}{2}\), \(\sin\alpha_3 = \dfrac{3}{4}\). От точки 1 до точки 2 груз перемещается за время \(t_{12}\).

    Рисунок

    1. Найти скорость \(V_1\) груза при прохождении точки 1.

    2. Найти работу лебедки \(A_{12}\) при перемещении груза из точки 1 в точку 2.

    3. Найти время \(t_{23}\) перемещения груза из точки 2 в точку 3.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Скорость груза связана со скоростью троса проекцией на направление троса. Что можно сказать о длине участка троса от блока до груза, если трос тянут с постоянной скоростью?

    Ответ

    1) \(V_1 = \dfrac{3\sqrt{2}}{4}\,V_0\);  2) \(A_{12} = \dfrac{5}{48}\,mV_0^2\);  3) \(t_{23} = \dfrac{2}{3}\,t_{12}\).

    Решение

    1) Скорость груза \(V\) и скорость троса \(V_0\) связаны условием \(V_0 = V\cos\alpha\). Для точки 1 \(\cos\alpha_1 = \sqrt{1 - \tfrac{1}{9}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\), поэтому \(V_1 = \dfrac{V_0}{\cos\alpha_1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{4}\,V_0\).

    2) По теореме о кинетической энергии работа лебедки равна изменению кинетической энергии груза: \[A_{12} = \frac{mV_2^2}{2} - \frac{mV_1^2}{2} = \frac{mV_0^2}{2}\left(\frac{1}{\cos^2\alpha_2} - \frac{1}{\cos^2\alpha_1}\right) = \frac{5}{48}\,mV_0^2 .\] Здесь \(\cos^2\alpha_2 = \tfrac{3}{4}\), \(\cos^2\alpha_1 = \tfrac{8}{9}\).

    3) Пусть \(H\) — высота стены. За время \(t_{12}\) длина троса уменьшается на \(\dfrac{H}{\sin\alpha_1} - \dfrac{H}{\sin\alpha_2}\), и эта величина равна \(V_0 t_{12}\). Аналогично \(V_0 t_{23} = \dfrac{H}{\sin\alpha_2} - \dfrac{H}{\sin\alpha_3}\). Отсюда \[t_{23} = t_{12}\,\frac{1/\sin\alpha_2 - 1/\sin\alpha_3}{1/\sin\alpha_1 - 1/\sin\alpha_2} = \frac{2}{3}\,t_{12} .\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх