График с вареньем (теоретический тур)

Средняя плотность равна суммарной массе, делённой на суммарный объём. Что можно сказать о массе первой порции по начальному участку графика?

Масса первой порции может быть найдена как произведение средней плотности на объём первой порции: \[m_1 = V_1\rho_{\text{ср1}} = 10\cdot10^{-3}\cdot1200 = 12~\text{кг}.\] Масса второй порции равна разности массы содержимого при объёме \(20\) дм\(^3\) и массы первой порции: \[m_2 = V_2\rho_{\text{ср2}} - m_1 = 20\cdot10^{-3}\cdot1300 - 12 = 14~\text{кг}.\] Масса третьей порции равна разности конечной массы всего содержимого бака и масс первой и второй порции: \[m_3 = V_3\rho_{\text{ср3}} - m_1 - m_2 = 30\cdot10^{-3}\cdot1300 - 12 - 14 = 13~\text{кг}.\]

Заметим, что плотность первой порции \(\rho_1 = 1200\) кг/м\(^3\), а второй порции \(\rho_2 = 1400\) кг/м\(^3\). Среднюю плотность содержимого \(\rho_0\) можно представить как \[\rho_0 = \frac{m_1 + V\rho_2}{V_1 + V},\] где \(V\) — объём добавленного сиропа, имеющего плотность \(\rho_2\). Откуда \[V = \frac{\rho_0 V_1 - m_1}{\rho_2 - \rho_0} = 3{,}3~\text{дм}^3,\] и окончательно \(V_0 = 13{,}3\) дм\(^3\).