Отопление с насосом

Мощность, отдаваемая обеими батареями, равна мощности нагревателя и не зависит от расхода воды, поэтому сумма \(T_1+T_2\) не меняется. Разность температур батарей обратно пропорциональна расходу воды: найдите её для нового расхода.

\(T_X=\dfrac{2T_1+T_2}{3}\).

Обозначим \(Q\) — объём воды, прокачиваемый насосом в единицу времени, \(P_0\) — мощность нагревателя, \(T_X\) — искомую температуру батареи №1 и \(T_Y\) — температуру батареи №2 после увеличения расхода. Пусть \(T_{\text{Б}1}\), \(T_{\text{Б}2}\), \(T_{\text{Б}3}\) — температуры воды на входе батареи №1, между батареями и на выходе батареи №2 в начальном режиме.

Батареи отдают мощности \(P_1=k\left(T_1-T_B\right)\) и \(P_2=k\left(T_2-T_B\right)\), при этом \(P_0=P_1+P_2=k(T_1+T_2-2T_B)\). Эта мощность не зависит от расхода, поэтому сумма \(T_1+T_2\) сохраняется. С другой стороны, тепловой баланс воды даёт \(P_1=\rho c Q(T_{\text{Б}1}-T_{\text{Б}2})\), \(P_2=\rho c Q(T_{\text{Б}2}-T_{\text{Б}3})\) и \(P_0=\rho cQ(T_{\text{Б}1}-T_{\text{Б}3})=2\rho cQ(T_1-T_2)\). Значит, разность температур батарей обратно пропорциональна расходу.

После того как расход стал \(3Q\), для батарей выполняется \[P_0=k(T_X+T_Y-2T_B),\qquad P_0=6\rho cQ(T_X-T_Y).\] Отсюда \(T_X+T_Y=T_1+T_2\) и \(3(T_X-T_Y)=T_1-T_2\). Решая систему, получаем \[T_X=\frac{2T_1+T_2}{3},\qquad T_Y=\frac{T_1+2T_2}{3}.\] Температура батареи №1 стала ниже прежней, а батареи №2 — выше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.