Бильярд на льду

Запишите закон сохранения импульса для шайб, а затем используйте, что кинетическая энергия после частично упругого столкновения меньше, чем до него. Какой угол между траекториями после столкновения допустим?

Из закона сохранения импульса \(\vec p_0 = \vec p_1 + \vec p_2\) получим \(p_0^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2\cos\alpha\), где \(\alpha\) — угол разлёта шайб. При частично упругом столкновении кинетическая энергия налетающей шайбы больше суммы кинетических энергий шайб после столкновения. Кинетическую энергию удобно выразить через импульс: \(E_{кин} = \dfrac{p^2}{2m}\). Энергия, перешедшая в тепло, \(Q = \dfrac{p_0^2}{2m} - \dfrac{p_1^2}{2m} - \dfrac{p_2^2}{2m} \ge 0\). Подставляя \(p_0^2\), получаем \(\cos\alpha > 0\), т.е. шайбы разлетаются под острым углом. Значит, траектория «b» принадлежит налетающей шайбе перед столкновением.

Направив одну координатную ось вдоль траектории налетающей шайбы, а вторую — перпендикулярно, и используя углы \(45^\circ\) и \(75^\circ\) между траекториями шайб после столкновения и направлением налетающей шайбы, получаем, откуда для отношения расстояний, которые проходят шайбы до остановки, равного отношению их кинетических энергий сразу после столкновения, получаем \[\frac{S_2}{S_1} = \frac{p_2^2}{p_1^2} = \frac{\cos^2 75^\circ}{\cos^2 45^\circ} \approx 0{,}13, \qquad \frac{S_1}{S_2} \approx 7{,}46.\]

Доля кинетической энергии налетающей шайбы, переходящая в тепло: с учётом выражения для \(Q\) (после решения треугольника импульсов) \[\frac{Q}{E_0} = \frac{p_0^2 - p_1^2 - p_2^2}{p_0^2} \approx 0{,}24.\]