Крутится, вертится

Сила Архимеда, действующая на шарик, равна силе, которая действовала бы на такой же объём воды, движущийся вместе с водой. Поэтому сила Архимеда и сила тяжести шарика вместе дают центростремительное ускорение от вращения воды. Рассмотрите, к какой стенке прижат тяжёлый шарик.

На каждый из шариков действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила Архимеда и сила натяжения нити \(\vec T\); в сумме они создают центростремительное ускорение \(\vec a_{цс} = -\omega^2\vec r\) (\(\vec r\) — горизонтальный вектор от оси вращения к шарику). Сила Архимеда не зависит от материала шарика, поэтому её можно найти, заменив шарик таким же шариком из воды: он неподвижен относительно основной массы воды, и сумма его силы тяжести и силы Архимеда обеспечивает центростремительное ускорение: \(\vec F_{арх} = -\rho_в V(\vec g + \omega^2\vec r)\).

Плотность верхнего шарика меньше плотности воды, а нижнего — больше. Поэтому, если бы нити не было, лёгкий шарик сдвигался бы к оси вращения, а тяжёлый — от оси. Значит, связанные нитью шарики находятся по одну сторону от оси вращения, и равновесие возможно, только если тяжёлый шарик упирается в стенку сосуда. Сила Архимеда, действующая на верхний шарик, коллинеарна сумме \(m\vec g + m\omega^2\vec r\), поэтому сила натяжения нити тоже коллинеарна ей.

Второй закон Ньютона для лёгкого (верхнего) шарика в проекции на ось, перпендикулярную нити: \(m_1 g\sin\alpha = m_1\omega^2 r_1\cos\alpha\), где \(r_1 = R - l\sin\alpha\). Отсюда \(\omega^2 = \dfrac{g\,\mathrm{tg}\,\alpha}{R - l\sin\alpha}\).

Второй закон Ньютона для тяжёлого шарика в проекции на вертикальную ось: \(m_2 g - \rho_ж g V - T\cos\alpha = 0\), откуда \(T = \dfrac{m_2 g - \rho_ж g V}{\cos\alpha}\). Из условия равновесия нижнего шарика до раскручивания \(m_2 g - \rho_ж g V - T_0 = 0\). Тогда \(T = \dfrac{T_0}{\cos\alpha}\).