Шарик на нити

Разложите ускорение на тангенциальную составляющую (её создаёт сила сопротивления) и центростремительную (её создаёт натяжение нити). Отношение этих составляющих связано с углом \(\alpha\). Путь до остановки удобно найти через пропорциональность \(m\,d\upsilon = -k\,dS\).

Шарик движется под действием двух сил: силы сопротивления воздуха, направленной против скорости и обеспечивающей тангенциальную составляющую ускорения, и силы натяжения нити, направленной вдоль нити и обеспечивающей центростремительную составляющую ускорения.

Тангенциальная составляющая ускорения \(a_\tau = k\upsilon/m\), где \(\upsilon\) — скорость, \(k\) — коэффициент в формуле для силы сопротивления, \(m\) — масса шарика. Центростремительная составляющая ускорения \(a_{цс} = \upsilon^2/R\), где \(R\) — радиус окружности. Отношение этих составляющих даёт \[\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{a_\tau}{a_{цс}} = \frac{kR}{m\upsilon}.\] Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление движения для произвольного \(i\)-го момента времени: \(m\dfrac{d\upsilon_i}{dt_i} = -k\dfrac{dS_i}{dt_i}\), где \(S\) — пройденный путь. Сократив на \(dt_i\), получим \(m\,d\upsilon_i = -k\,dS_i\). Просуммировав по всем малым отрезкам времени от текущего момента до остановки, найдём путь до остановки: \(S = \dfrac{m\upsilon}{k}\). Тогда \[\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{R}{S}\;\Rightarrow\; S = R\,\mathrm{ctg}\,\alpha.\] Угол, на который повернётся нить, равен \(\varphi = S/R\), отсюда окончательно \(\varphi = \mathrm{ctg}\,\alpha\).