Задачи › Механическая энергия, консервативные системы

Мешок с зерном на двух наклонных плоскостях

  1. Мешок с зерном на двух наклонных плоскостях

    СПбГУ 2022/23, 11 кл.
    6/10

    Мешок с зерном ставят на наклонную плоскость, изображённую на рисунке (слева). С какой высоты \(H\) его надо спустить без начальной скорости по этой плоскости, чтобы на правой он поднялся до высоты \(h = 1\) м? Левая плоскость расположена под углом \(\alpha = 45^\circ\) к горизонту, а правая — под углом \(\beta = 15^\circ\). Мешок скользит без трения, при переходе с одной плоскости на другую он испытывает неупругий удар, при котором не отскакивает, а компонента скорости вдоль нового направления движения остаётся неизменной. Размерами мешка можно пренебречь по сравнению с остальными геометрическими размерами в задаче.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    \(H = 4\) м.

    Решение

    Непосредственно перед ударом мешок имеет скорость \(v_1\) вдоль левой поверхности: \(mgH = \dfrac{mv_1^2}{2}\). Скорость вдоль правой поверхности в момент соударения \[v_2 = v_1\cos(\alpha + \beta).\] После столкновения мешок поднимается на высоту \(h\): \(mgh = \dfrac{mv_2^2}{2}\). Отсюда \[h = H\,\bigl(\cos(\alpha + \beta)\bigr)^2, \qquad H = \frac{h}{\bigl(\cos(\alpha + \beta)\bigr)^2}.\] При \(\alpha = 45^\circ\), \(\beta = 15^\circ\) получаем \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) и \(H = \dfrac{1~\text{м}}{0{,}25} = 4\) м.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх