Задачи › Механическая энергия, консервативные системы

Угол между плоскостями

  1. Угол между плоскостями

    СПбГУ 2022/23, 11 кл.
    6/10

    Мешок с зерном ставят на наклонную плоскость, изображённую на рисунке (слева), и отпускают. Определите угол между плоскостями \(\alpha\), если известно, что мешок поднялся по правой плоскости на высоту в \(k = 4\) раза меньшую, чем высота, с которой его отпустили. Мешок скользит без трения, при переходе с одной плоскости на другую он испытывает неупругий удар, при котором не отскакивает, а компонента скорости вдоль нового направления движения остаётся неизменной. Размерами мешка можно пренебречь по сравнению с остальными геометрическими размерами в задаче.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    \(\alpha = 120^\circ\).

    Решение

    Пусть мешок отпущен с высоты \(H\) на левой плоскости, а поднялся на высоту \(h\) на правой. Скорость перед ударом \(v_1\): \(mgH = \dfrac{mv_1^2}{2}\). Вдоль правой поверхности после удара \[v_2 = v_1\cos(180^\circ - \alpha) = -v_1\cos\alpha.\] Из условия \(mgh = \dfrac{mv_2^2}{2}\) получаем \[\cos^2\alpha = \frac{h}{H} = \frac{1}{k} \;\Rightarrow\; \cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{k}},\] так как угол должен быть тупым. Отсюда \(\alpha = 180^\circ - \arccos\sqrt{\dfrac{1}{k}}\). При \(k = 4\): \[\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх