Хрупкое равновесие

Диск с акробатами балансирует, если центр масс системы совпадает с опорой O. Разложите движение по осям координат и найдите, где должен идти третий брат.

Введём систему координат с центром в \(O\). Первый брат: \(x_1 = 0\), \(y_1 = -R + vt\). За время прохода \(AO\) второй брат проходит такой же путь по вертикали и оказывается в \(C\), поэтому его скорость по оси \(y\) равна \(v\), а по оси \(x\) тоже \(v\) (отрезок идёт под \(45^\circ\)): \(x_2 = -vt\), \(y_2 = R - vt\).

Равновесие диска относительно оси \(x\): моменты сил тяжести первого и второго братьев \(mgy_1 + mgy_2 = 0\), значит, третий брат должен иметь \(y_3 = 0\). Относительно оси \(y\): момент второго брата \(mgx_2\) уравновешивается моментом третьего: \(x_3 = -x_2 = vt\). Итак, на первом этапе третий брат идёт от \(O\) к точке \(D\) со скоростью \(v\).

На втором этапе первый брат стоит в \(O\) и не создаёт момента. Чтобы уравновесить второго, третий должен идти симметрично второму относительно центра диска, то есть по отрезку \(DA\). Его скорость равна скорости второго брата, то есть \(\sqrt{2}\,v\) (составляющие по осям по \(v\)).